山东省潍坊市2017年中考数学真题试卷和答案.doc

山东省潍坊市2017年中考数学真题试卷和答案
一、选择题（每小题3分,满分36分)。
1．下列算式，正确的是（　　）
A．a3×a2=a6B．a3÷a=a3C．a2+a2=a4D．（a2）2=a4
2．如图所示的几何体,其俯视图是（　　)
A．B．C．D．
3．可燃冰，学名叫“天然气水合物"，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道,仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（　　）
A．1×103B．1000×108C．1×1011D．1×1014
4．小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子．如图,棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0,﹣1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（　　）
A．(﹣2,1)B．（﹣1，1)C．（1,﹣2)D．（﹣1，﹣2）
5．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．
A．B与CB．C与DC．E与FD．A与B
6．如图，∠BCD=90°,AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　)
A．∠α+∠β=180°B．∠β﹣∠α=90°C．∠β=3∠αD．∠α+∠β=90°
7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中,每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛,从平均数与方差两个因素分析,应选(　　）

甲
乙
平均数
9
8
方差
1
1
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A．B．C．D．
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　)
A．x≥1B．x≥2C．x＞1D．x＞2
10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°,则∠DBC的度数为（　　）
A．50°B．60°C．80°D．90°
11．定义［x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8］=1,［﹣1。4］=﹣2，［﹣3]=﹣3．函数y=[x］的图象如图所示，则方程［x]= x2的解为（　　）＃N．
A．0或B．0或2C．1或D．或﹣
12．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2B．或2C．或2D．或2
二、填空题（每小题3分,共18分）。
13．计算：（1﹣）÷=．
14．因式分解：x2﹣2x+(x﹣2）=．
15．如图,在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
16．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是．
17．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个．
18．如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG,B′D′=2，BE=BC．则矩形纸片ABCD的面积为．
三、 解答题：
19．本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1)根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名？
（3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
20．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库,高2。5米;上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1。5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶点E的仰角为30°,AB=14米．求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据：≈1。73）
21．某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜苔共用去16万元．
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨?
（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨?最大利润是多少？
22．如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
(2）若DA=DF=6,求阴影区域的面积．(结果保留根号和π）
23．工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
(1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?
24．边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB,EC=2
（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移,得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
25．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0,3）、B（﹣1，0）、D（2,3）,抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t
(1）求抛物线的解析式；
（2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
答案
一、选择题（每小题3分,满分36分）
1．D
2．D．
3．C．
4．B．
5．A．
6．解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠α,∠2=180°﹣∠β，
∵∠BCD=90°,
∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°，
∴∠β﹣∠α=90°,
故选B．
7．解:丙的平均数==9，丙的方差= ［1+1+1=1]=0.4，
乙的平均数==8.2，
由题意可知，丙的成绩最好,　
8.C．
9．B
10．解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°,
∵AE⊥CD,
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故选C．
11．解：当1≤x≤2时， x2=1,解得x1=,x2=﹣；
当﹣1≤x≤0时， x2=0，解得x1=x2=0；
当﹣2≤x＜﹣1时, x2=﹣1，方程没有实数解；
所以方程［x］= x2的解为0或．
12．解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点,
∴BD⊥AC,
①如图①,
∵点D恰在该圆直径的三等分点上,
∴BD=×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=2，
连接OD,
∵CE==，
∴边CD==；
如图②，BD=×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE===2，
∴边CD===2,
故选D．
二、填空题(每小题3分，满分18分)
13．解:(1﹣）÷
=
=
=x+1，
14．（x+1）（x﹣2）．
15．解：DF∥AC,或∠BFD=∠A．
理由:∵∠A=∠A， ==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时,∵∠B=∠AED,
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC,或∠BFD=∠A．
16．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac≥0,
即：4﹣4k≥0，
解得:k≤1,
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，
故k≤1且k≠0．
17．解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；
∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成,
∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；
∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3,
…，
∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．
18．解:设BE=a,则BC=3a，
由题意可得,
CB=CB′，CD=CD′，BE=B′E=a，
∵B′D′=2,
∴CD′=3a﹣2，
∴CD=3a﹣2，
∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2,
∴DB′===2,
∴AB′=3a﹣2，
∵AB′2+AE2=B′E2,
∴，
解得，a=或a=，
当a=时，BC=2，
∵B′D′=2，CB=CB′，
∴a=时不符合题意,舍去；
当a=时，BC=5，AB=CD=3a﹣2=3,
∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3=15，　
四、 解答题
19．解:（1）抽取的学生数:16÷40%=40（人)；
抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10，
合格所占百分比：10÷40=25％，
优秀人数:12÷40=30％,
如图所示：
；
（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：25％+5%=30％,
所以600名九年级男生中有600×30％=180(名）;
（3）如图：
，
可得一共有9种可能,甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率P==．
20．解：设每层楼高为x米，
由题意得：MC′=MC﹣CC′=2。5﹣1。5=1米，
∴DC′=5x+1，EC′=4x+1，
在Rt△DC′A′中,∠DA′C′=60°，
∴C′A′==（5x+1）,
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°,
∴C′B′==（4x+1),
∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB，
∴(4x+1）﹣（5x+1）=14，
解得:x≈3.17,
则居民楼高为5×3.17+2。5≈18.4米．
21．解：（1）设第一批购进蒜薹x吨,第二批购进蒜薹y吨．
由题意，
解得，
答:第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．
由m≤3，解得m≤75，
利润w=1000m+400=600m+40000，
∵600＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=75时，w有最大值为85000元．
22．（1)证明:连接OD，
∵D为的中点，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO,
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
(2)解：连接OC与CD，
∵DA=DF，
∴∠BAD=∠F，
∴∠BAD=∠F=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，
∴∠F=30°,∠BAC=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，∠COB=120°,
∵OD⊥EF，∠F=30°，
∴∠DOF=60°，
在Rt△ODF中，DF=6，
∴OD=DF•tan30°=6，
在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，
∴DE=DA•sin30，EA=DA•cos30°=9，
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，
∴CD∥AB,
故S△ACD=S△COD,
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．
23．解：
（1）如图所示：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12,
即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
(2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2。5，
设总费用为w元,由题意可知
w=0。5×2x(16﹣4x）+2（10﹣2x)(6﹣2x)=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，w有最小值,最小值为25元,
答：当裁掉边长为2。5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
24．解：(1）当CC'=时，四边形MCND’是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C’D’,DE∥D'E’，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC’=180°﹣∠ACB=120°,
∵CN是∠ACC’的角平分线,
∴∠D'E’C'=∠ACC’=60°=∠B，
∴∠D’E’C’=∠NCC’,
∴D’E’∥CN，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME’C'=∠MCE’=60°,∠NCC’=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，
∴MC=CE’，NC=CC’,
∵E'C'=2，
∵四边形MCND’是菱形，
∴CN=CM,
∴CC'=E'C'=；
(2)①AD’=BE’,
理由:当α≠180°时，由旋转的性质得,∠ACD’=∠BCE'，
由(1)知，AC=BC,CD'=CE’，
∴△ACD’≌△BCE’，
∴AD’=BE’,
当α=180°时，AD’=AC+CD’，BE'=BC+CE'，
即：AD’=BE’,
综上可知：AD’=BE’．
②如图连接CP，
在△ACP中,由三角形三边关系得,AP＜AC+CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，在△D’CE'中,由P为D’E的中点，得AP⊥D’E'，PD’=，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得,AD’==2．
25．解:
（1)由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
(2)∵A(0,3）,D（2，3)，
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0)，
∴C（1，0)，
∴线段AC的中点为（,),
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E(3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+,
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，),
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M,作FN⊥PH,
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3)，M（t,﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+）=﹣t2+t+,
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH）=(﹣t2+t+)(3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
(3）由图可知∠PEA≠90°,
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2,作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG,
∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去)，
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴,AQ⊥PK,
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,
∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP,
∴=，即=,即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
2017年12月24日
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