4.多项式最大公因式的求解教学教材.doc
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1、4.多项式最大公因式的求解精品文档多项式最大公因式的求法 定理1设是中个多项式.中多项式称为的最大公因式,如果它满足下面的两个条件:(1)是的公因式.(2)的公因式全是的因式.定理2 设是中的多项式,中多项式是的最大公因式,是任意的非零常数,则有.证明:当、有一个为零,例如,那么结论显然成立. 当时,则有,.从而,即是与的一个公因式,令,.根据整除的性质,我们有,所以.所以 方法1:用辗转相除法求最大公因式引理 如果的最大公因式存在,那么的最大公因式也存在,且. (1)证明:由题意,假设的最大公因式为,那么与的最大公因式也是存在的. (2)又由(1)、(2)式,可知.假设是的一个公因式,由(1
2、)式可得.这样就是与的一个公因式,再由(2)式可得.所以.定理3设是中的个多项式,则在中存在一个最大公因式,且可以表示成的一个组合,即有中多项式使.由定理3对一般情况, 设,不妨设则,.记,令,则,故. 记,且故如此下去,所得差式的次数不断降低,即.因此在有限次之后,必然有一差式为零,即,则乘以首项系数的倒数之后即为.例1 例1设求.解:由题意得: 用等式表示出来,就是 因此例 2 设 求,并求使.解:由题意得:0用等式表示即 因此而 于是,令就有方法2:方程组法求解多项式的最大公因式定理4 设、是上的两个多项式,令将方程组化解为则当时,中多项式是与的最大公因式;当时,与互素.(其中是常数)例 3 设求解:作方程组 所以例 4 设 求解:作方程组 所以 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除
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