“三线合一”证题复习过程.doc
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1、“三线合一”证题精品文档等腰三角形巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用,供参考。一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知,如图1,AD是的角平分线,DE、DF分别是和的高。 求证:AD垂直平分EF 分析:从本题的条件和图形特征看,欲证AD垂直平分EF,因为有,所以只要证为等腰三角形即可 证明: 又 AD垂直平分EF 例2. 如图2,中,ABAC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于点K,求证: 分析:可考虑作DE/CK交AB于E,因为M是AD的中点,所以K是AE的中点,只要证E是BK的中
2、点,问题可得到解决。由于有,所以就想到用“三线合一”。 证明:过点D作DE/CK交BK于点E 二. 先连线,再用“三线合一” 例3. 如图3,在中,D是BC的中点,P为BC上任一点,作,垂足分别为E、F 求证:(1)DEDF;(2) 分析:(1)欲证二线段相等,容易想到利用全等三角形。观察DE为或的一边,DF为或的边,但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点,于是我们想到连结AD一试,这时容易发现或 问题得证。 (2)欲证,只要证,即可 但由(1)已证出 又,故问题解决 证明:连结AD。D是BC的中点 , DA平分, 四边形PEAF是矩形 又 又 (2) 又 即三. 先
3、构造等腰三角形,再用“三线合一” 例4. 如图4,已知四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,求证: 分析:由于MN与CD同在中,又N为CD的中点,于是就想到证为等腰三角形,由于MD、MC为、斜边AB上的中线,因此,所以,问题容易解决。 证明:连结DM、CM ,M是AB的中点 是等腰三角形 又N是CD的中点, 例5. 如图5,中,BC、CF分别平分和,于E,于F,求证:EF/BC 分析:由BE平分、容易想到:延长AE交BC于M,可得等腰,E为AM的中点;同理可得等腰,F是AN的中点,故EF为的中位线,命题就能得证。 证明:延长AE、AF分别交BC于M、N , 为等腰三角形 即, 同理
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