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年龄问题(答案)

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年 龄 问 题
教学目标：
本讲主要学习三种类型的年龄问题：
1、理解掌握可以转化为和差问题的年龄问题；
2、理解掌握可以转化为和倍问题的年龄问题；
3、理解掌握可以转化为差倍问题的年龄问题．
4、理解特殊形式的年龄问题，解决实际问题。
本章内容主要围绕年龄问题进行展开分析，通过本章知识的学习，要求同学们能熟练运用和差、和倍、差倍的知识以及图示法计算有关年龄问题．

知识点讲解：

根据以上题目，我们得出年龄问题的三大规律：
1、 两人的年龄差是不变的；
2、 两人年龄的倍数关系是变化的量；
3、 随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．

解答年龄问题的一般方法是：
　　几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，
　　几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.

【例1】 姐姐、妹妹二人的年龄和是33岁，四年后姐姐比妹妹大5岁．那么今年姐姐和妹妹各是多少岁?

分析：四年后姐姐比妹妹大5岁，意味着今年姐姐比妹妹大5岁，由于今年二人的年龄和是33岁，所以用和差问题的方法：姐姐的年龄：(33＋5)÷2＝19(岁)， 妹妹的年龄：(33－5)÷2＝14(岁)

前铺：小傲爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？
分析: 五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题。所以爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁），妈妈的年龄：39-6=33（岁）

【例2】 甲、乙、丙三人平均年龄为42岁，若将甲的岁数增加7，乙的岁数扩大2倍，丙的岁数缩小2倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？

分析：甲增加7岁后，三人总年龄是42×3+7＝133岁，并且这时丙是甲的2倍，甲是乙的2倍，丙是乙的4倍，所以这时乙的年龄是
(42×3+7)÷(1+2+4)=(42×3+7) ÷7=19 (岁)，所以丙的年龄是19×4=76(岁)

[巩固] 今年甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁，甲21岁时，乙17岁；今年甲18岁，丙的年龄是丁的3倍．问丁今年的年龄?

分析：由“甲21岁时，乙17岁”可以推知甲比乙大4岁，因此当甲18岁时，乙就是14岁．由于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁，甲，18岁，乙14岁，故丙和丁的年龄和就是64－14－18＝32(岁)．因为丙的年龄是丁的3倍，剩下的问题是个和倍问题．以丁的年龄作为1倍量，丙的年龄就是3倍量，从而两个人的年龄和32岁，就是4倍量，因此1倍量的大小即丁的年龄是：32÷4＝8(岁)．

【例3】 姐姐与妹妹3年后的年龄和是33岁，妹妹今年的年龄等于两人的年龄差，姐姐今年多少岁？

分析：今年姐姐和妹妹的年龄和是：33-（3×2）=27（岁），妹妹今年的年龄等于两人的年龄差，实际上姐姐是妹妹年龄的2倍，也就是姐妹二人的年龄和是妹妹今年年龄的3倍，所以，妹妹的年龄是：
27÷3=9（岁），姐姐今年是：27-9=18（岁）.
[拓展]哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁．问：哥哥现在多少岁？
分析：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（＝哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（＝哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3＋2＝5份，一份就是30÷5＝6，哥哥现在是6×3＝18岁．

【例4】 兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大．有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍．”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大．”这时他们俩各几岁？

分析：通过“弟弟说：‘不对，再过3年我和你一样大．’”知道哥哥比弟弟大3岁，再通过“哥哥对弟弟说：‘再过3年我的年龄就是你的2倍．’”哥哥现在比弟弟大6岁，这样得出弟弟是6岁，哥哥是6＋3＝9岁．

[拓展] 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半．”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7．”问：甲、乙二人现在各多少岁？

分析: 从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半 （1）
乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即 甲今＋年龄差＝2×乙今－7 （2）
　　把甲乙的对话用下图表示为：

　　由（1）得甲今＝2×乙今－2×年龄差 （3）
　　由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年龄差 （4）
　　由（3）（4）年龄差＝7（岁）
　　从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁）

【例5】 三名男青年王强、张胜、李明和三名女青年芳芳、丽丽、蓉蓉这六个人是三对兄妹，哥哥比妹妹都大5岁，王强比芳芳大1岁，王强与丽丽的年龄和为48岁，张胜与丽丽的年龄和为52，他们六人中各对兄弟妹分别是谁和谁？(只写出答案，不列式)

分析：由于哥哥比妹妹大5岁，两人年龄之和一定是奇数，所以王强与丽丽又不是兄妹，张胜与丽丽也不是兄妹．又因为王强只比芳芳大一岁，因而也不是兄妹，所以王强与蓉蓉是兄妹，从而张胜与芳芳是兄妹，剩下李明与丽丽是兄妹．用图表法解释如下：

【例6】 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁．四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁．问：现在各人的年龄是多少？

分析：73－58＝15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4＝16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15－12＝3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3＋2＝5岁，父母今年的年龄和是73－3－5＝65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65＋3）÷2＝34岁，母亲是65－34＝31岁．

【例7】 今年小华9岁，爸爸33岁，那么再过多少年小华的岁数是爸爸岁数的一半?

分析：今年小华比爸爸小33－9＝24岁，那么小华永远比爸爸小24岁．几年后小华是爸爸岁数的一半时，
即爸爸年龄是小华的2倍时，爸爸仍比小华大24岁．这是个差倍问题．以小华的年龄作为1倍量，爸爸年龄是2倍量，所以爸爸比小华大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小华24岁时年龄是爸爸年龄的一半，因此再过24－9＝15(年)小华的岁数是爸爸的一半．

[拓展]妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍，多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？

分析：女儿今年的年龄35÷7=5（岁），母女年龄差是：35-5=30（岁），当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄是：30÷（3-1）=15（岁），所以要经过：15-5=10（年）

【例8】 今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。4年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是哥哥的3倍。那么，当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是公元多少年？
分析：4年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，4倍弟弟年龄+3倍哥哥的年龄=86=3倍兄弟年龄和+弟弟年龄=25×3+弟弟年龄，所以弟弟年龄是86-25×3=11岁，那么哥哥25-11=14岁，父亲11×4=44岁，母亲14×3=42岁。
以上计算都是4年后的情况，所以，今年父亲40岁，母亲38岁，哥哥10岁，弟弟7岁。
当父亲年龄是哥哥年龄的3倍的时候，父亲，哥哥，年龄差是哥哥年龄的2倍，那时哥哥是（40-10）÷2=15岁，那么，5年以后1996+5=2001年

【例9】 2001年父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的4倍，2007年，父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的2倍，问：父亲出生在哪一年？

分析：父亲在2007年的年龄应该是4线段再加6岁，而兄弟二人在2007年的年龄之和是1线段再加上2×6=12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2线段再加3岁，由：1段+12岁=2段+3岁，可以推知1段是9岁，所以父亲2001年的年龄是：9×4=36（岁），他出生于：2001-36=1965（年）
【例10】 今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁．经过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和?

分析：观察每过一年，爷爷的年龄与三个孙子年龄和的差的变化．相等时的图示所示：

三个孙子的年龄和是27＋23＋16＝66(岁)，跟爷爷的差距是78－66＝12 (岁)．由于每过一年，三个孙子的年龄和增大3岁，而爷爷年龄增大1岁．因此每过一年，爷爷和三个孙子年龄和的差就缩小2岁．这样由于他们的差距一共是12岁，所以12÷2＝6(年)．
【例11】 女儿今年12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60了！”问：妈妈12岁时，时哪一年？
分析：母女年龄差是（60-12）÷2=24
2009-24=1985
答：妈妈12岁是1985年。

【例12】 “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？

分析：两年之后，这25位老人的平均年龄为2000÷25=80(岁)，其中年龄最大的老人为80+12=92(岁)，年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)．

课后练习：
1． 小明今年（1995）的年龄是他出生那年的年份的数字之和，问：他今年多少岁？
分析：19ab年，11a+2b=85.1+9+7+4=21（岁）

2． 父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是多少岁？

分析：此题关键要抓住年龄差不变，当父亲的年龄是儿子的8倍时，儿子的年龄是一份，父亲的年龄是8份，他们的年龄差是8－1＝7份，因为他们的年龄差始终保持不变，年龄差是44－16＝28岁，所以一份是28÷7＝4，即儿子的年龄是4岁，父亲的年龄是4×8＝32时，父亲的年龄是儿子的8倍，此时他们的年龄和是4＋32＝36岁．

3. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”求老师与学生的年龄．

分析：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄－3＝老师年龄－学生年龄＝39－老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：（39－3）÷3＝12，所以学生年龄是3＋12＝15岁，老师年龄是15＋12＝27岁．

4． 小红、小橙、小黄、小绿四人今年分别是16，12，11，9岁．问：多少年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍？

分析：现在小红、小橙的年龄和是16＋12＝28岁，小黄、小绿的年龄和是11＋9＝20岁，他们和的年龄差是28－20＝8岁，当小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍时，他们的年龄差是1份，即8岁，此时小红、小橙的年龄和是2×8＝16岁，小黄、小绿的年龄和是8岁，又因为每一组是两个人，所以往前推（28－16）÷2＝6年，即6年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍．

5． 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁?

分析：6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄．
母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)，
母子6年前年龄和： 66－6×2＝54(岁)，
母亲6年前的年龄： 54÷ (5＋1)×5＝45(岁)，
母亲今年的年龄： 45＋6＝51(岁)．

6. 爸爸今年30岁，儿子小明和小强分别是5岁和6岁，再过几年小明和小强的年龄和与爸爸的年龄相等？

分析：两个儿子的年龄和是5＋6＝11岁，爸爸比他们的年龄和大30－11＝9岁，每过一年两个儿子的年龄和比爸爸的年龄增加2－1＝1岁，所以要过9年，小明和小强的年龄和才能与爸爸的年龄相等．

7.三个人年龄之和是80岁，最小的一个20岁，他与最大的人年龄之和比其它两人年龄之和小8岁，那么这三个人的年龄各是多少?

分析：最小的一个与最大的人年龄之和比第二大的与最大的年龄之和小8岁，也就是说最小的人比年龄在中间的人小8岁，所以，年龄在中间的人的年龄是：20+8=28（岁），最大的人的年龄就是：
80-20-28=32（岁）

8. 今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半?

分析：今年小宁比妈妈小33－9＝24岁，那么小宁永远比妈妈小24岁．几年后小宁是妈妈岁数的一半时，即妈妈年龄是小红的2倍时，妈妈仍比小宁大24岁．这是个差倍问题．以小红的年龄作为1倍量，妈妈年龄是2倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小宁24岁时年龄是妈妈年龄的一半，因此再过24－9＝15(年)小宁的岁数是妈妈的一半．

9.女儿今年12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经60了！”问：妈妈12岁时，时哪一年？
分析：母女年龄差是（60-12）÷2=24
2009-24=1985
答：妈妈12岁是1985年。

10.甲，乙，丙，丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁时，乙是17岁；甲是18岁时，丙的年龄是丁的3倍。丁现在的年龄是多少岁？
分析：（64-18-14）÷（3+1）
==32÷8
==8（岁）

11.小明与爸爸的年龄和是52岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄小2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？

分析：把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份多2，根据和倍关系：
小明的年龄是：（52－2）÷（4＋1）＝10（岁），
爸爸的年龄是：52－10＝42（岁），
小明与爸爸的年龄差是：42－10＝32（岁）.

12. “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？

分析：两年之后，这25位老人的平均年龄为2000÷25=80(岁)，其中年龄最大的老人为80+12=92(岁)，年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)．

13.今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后，祖父的年龄是小明的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的四倍。祖父今年是多少岁？

分析：祖父的年龄是小明的6，5，4倍的时候，年龄差为5，4，3倍小明的年龄，由于年龄差不变。5，4，3的最小公倍数（最小公倍数）为60，所以年龄差为60的倍数，而实际情况中年龄差只能是60.
今年，年龄差是小明年龄的5倍，所以小明的年龄是60÷5=12岁，爷爷的年龄是
12×6=72岁。

14.叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍，今年小华多少岁？
分析：因为明年叔叔毕小华仍然大20岁，于是明年小华是20÷（3-1）=10（岁）
所以小华今年是10-1=9（岁）

15.四个人年龄和是77岁，最小的是10岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄和大7岁，那么最大的岁数是多少？
分析：（77+7）÷2=42
所以最大的岁数是42-10=32（岁）。

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