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还原法倒推法解决假设法方程法解决问题

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数学广角：鸡兔同笼
知识点一：“鸡兔同笼”问题的特点
例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？
题型特点：鸡兔同笼是已知鸡、兔的总头数和总脚数，求其中鸡和兔务有多少只的问题。
请你用“﹋”画出下面题中相当于总头数的数据，用“——”画出下面题中相当于总脚数的数据。
1、 大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。问大小油瓶各多少个？
2、 动物园里里饲养一群丹顶鹤和一群猴子，数眼睛共46只，数脚72只，丹顶鹤和猴子各多少只？

知识点二：“鸡兔同笼”问题的解题方法
例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有多少只？
方法一：列表法。
（先从鸡是8只，兔是0只开始，鸡的只数逐渐减少，兔的只数逐渐增加，直到出现答案为止）
鸡的只数
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔的只数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
总脚数
16
18
20
22
24
26
28
30
32
通过列表，得出鸡有3只，兔有5只。
温馨提示：用列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐。
请你试一试：
1、鸡兔同笼，头共12个，足共34只，求鸡与兔各有多少只？
鸡的只数

兔的只数

总脚数

通过列表，得出鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
2、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？

通过列表，得出龟有（ ）只，鹤有（ ）只。
3、在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得2分，答错一题要倒扣一分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问，他答错了几题？

通过列表，可知道小明答错了（ ）题。
方法二：假设法。（可以假设笼子里全是鸡，或者假设笼子里全是兔）
例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有多少只？
假设笼子里全是鸡：（假设全是鸡时可得出兔的只数）
兔的只数：（26－2×8）÷（4－2） （总脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
=（26－16）÷2
=10÷2
=5（只）
鸡的只数：8－5=3（只） （总只数－兔的只数）
假设笼子里全是兔：（假设全是兔时可得出鸡的只数）
鸡的只数：（4×8－26）÷（4－2） （4×鸡兔总数－总脚数）÷（4－2）
=（32－26）÷2
=6÷2
=3（只）
兔的只数：8－3=5（只） （总只数－鸡的只数）
你能行！
1、 鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？

2、小华买了2元和5元纪念邮票一共34张，用去98元钱。求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少张？

3、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？

方法三：列方程解。（可以设鸡为X只，也可以设兔为X只）
例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有多少只？
解：设鸡有X只 解：设兔有X只
4×（8－X）＋2X=26 4X＋2×（8－X）=26
32－4X＋2X=26 4X＋16－2X=26
2X=6 2X=10
X=3 X=5
8－3=5（只） 8－5=3（只）
答：鸡有3只，兔有5只。
你能列方程解答吗？
1、 大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。问大小油瓶各多少个？

2、 班主任张老师带五年级（2）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？

3、 鸡兔同笼，兔比鸡少20只，脚数共262只。鸡、兔各有多少只？

小结：“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、列表法
如果笼中全是鸡，那么共有脚2×8＝16（只）；如果笼中全是兔，那么共有脚4×8＝32（只），而题目所给的脚数是28只，接近于鸡而远离于兔的脚数，可见鸡少兔多。我们可以以鸡为例，由小到大列出下表：
总数
增 减 数
种 类
头
脚
头
脚
头
脚
……
8
30
10
28
8
26
……
兔
7
28
6
24
5
20
……
鸡
1
2
2
4
3
6
……
由表可知答案，兔5只，鸡3只。
3、还有置换法
假设笼中全是鸡，则总脚数为2×8＝16（只），这与所给的26只脚不符，说明笼中必有兔。现可用置换法进行调整，用一只兔换出一只鸡，头数不变，脚数却增加2只，于是在脚的差数26－16＝10（只）中，包含几个2只，就需要用几只兔换出几只鸡，由于10÷2＝5，所以兔5只，鸡3只，其兔数列综合算式为：（26－2×8）÷（4－2）。
3、计算的方法
假设每只鸡一只脚，每只兔两只脚，这样，鸡、兔总脚数为26÷2＝13（只），由于鸡一头一脚，兔一头两脚，这时脚头数的差是13－8＝5（只），这便是兔的只数，列综合算式为：26÷2－8，即兔5只，鸡3只。
假设把笼中的每只鸡兔的脚都砍去2只，则剩余脚数为26－（2×8）＝10（只），这时鸡的脚砍完了，余下的10只脚全是兔的，因为每只兔4只脚，砍去2只脚，还剩下2只脚，于是兔为10÷2＝5（只），鸡有8－5＝3（只）
4、方程法
解：设兔有x只，则鸡有（10－x）只。
4x＋2×(8－x)＝26
4x＋16－2x ＝26
2x＋16 ＝26
2x＋16－16 ＝26－16
2x ＝10
2x÷2 ＝10÷2
X ＝5
8－5 ＝3(只)
解方程得兔5只，鸡3只。

知识点三：“鸡兔同笼”问题的例题分析

例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
　　分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
　　有鸡16-6＝10（只）。
　　答：有6只兔，10只鸡。
　　当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
　　有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
　　有兔16——10＝6（只）。
　　由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
　　假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
　　100－80＝20（人）。
　　同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
　　在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
　　假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
　　买普通文化用品 24÷8=3（套），
　　买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
　　分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
　　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
　　有鸡100——30=70（只）。
　　答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
　　分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
　　大瓶有50-30＝20（个）。
　　答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
　　分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
　　利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
　　答：这批钢材有720吨。
例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
　　分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
　　答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
　　12×（2＋3）＝60（下）。
　　可求出小乐每分钟跳
　　（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
　　小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
　　780——270×2＝240（下）。 
练习13
　　1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
　　2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
　　3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
　　4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
　　5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？
　　6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？
　　7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？
　　8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
　　9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？
　　10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？

知识点四：“鸡兔同笼”问题解法的应用
1、全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？

2、 王老师圆珠笔和钢笔共买了15支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支4.5元，共花了49.5元，圆珠和钢笔各买了几支？

3、小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票个多少张？各付出多少元？

4、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？

5、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的同样多。问小毛做对几道题？

6.有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？

7、东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？

8、某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个的话不但不给运费还要陪成本10元，运后结算时，运输队共得1350元的运费。问、共损坏了多少只暖瓶？

9、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。问，每种小动物各几只？

10、螃蟹有10条腿，螳螂有6条腿和1对翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。现在这三种动物37只，共有250条腿和52对翅膀。每种动物各有多少只？

11、小东妈妈从单位领回奖金400元，其中有2元、5元、10元人民币共80张，且5元和10元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？

12、小华有1分、2分、5分的硬币共38枚，合计9角2分，已知1分与2分的硬币的枚数相等。这三种硬币各有多少枚？

13、有20张5元和10元的人民币，一共是175元，5元和10的人民币各有多少张？

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