2牛顿运动定律及牛顿力学中的守恒定律说课讲解.doc

2牛顿运动定律及牛顿力学中的守恒定律精品文档习题22-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，。当时，求：(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有：，（1），。于是质点在时的速度：（2）2-2 质量为2kg的质点在xy平面上运动，受到外力的作用，t=0时，它的初速度为，求t=1s时质点的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，考虑到，有由于在自然坐标系中，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，。2-3如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？ 解：分别对A，B进行受力分析，可知：则可计算得到： 。2-4如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：可得：解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：联立得：，有：。2-5如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的，所以：。解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：方向：考虑到，有：，解得：。的取值范围：。2-6质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-7质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：利用隔离体方法，设方形物相对于劈形物沿斜面下滑的加速度为，劈形物水平向左的加速度为，分析受力有：方形物受力：，（惯性力）；劈形物受力：，如图；对于，有沿斜面平行和垂直的方程为： 对于，有： 将代入有：，代入，有：再将在水平和竖直两方向上分解，有： 而相互作用力：2-8在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。 解：利用自然坐标系，法向：，而： 切向：，则： ，得： 2-9如图，一质点在几个力作用下沿半径为的圆周运动，其中有一恒力N，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力所做的功。解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（，），再利用：，有：（焦耳）2-10质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：，题意：，。2-11一质量为的物体，在力的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻此力所做功的功率为多少。解：由，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：所以功率为：。2-12一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中和单位分别为和。（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知：（2），按保守力的定义：该弹力为保守力。2-13如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。分析：直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。解：求在B点的速度：，可得：由动能定理： 2-14在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：，即 ，则：。利用功能原理：，有：可解得：（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度时，速度为零，设： ，由能量守恒有：， 即：。2-15一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：2-16在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体、边上再放一物体，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为用力推，使弹簧压缩，然后释放。求：（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，还能往前移动多远? 解：（1）当与开始分离时，两者具有相同的速度，但的加速度为零，此时弹簧和都不对产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：，有：，；（2）分离之后，的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： ，则： 。2-17已知地球对一个质量为的质点的引力为（为地球的质量和半径)。（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能比较两种情况下的势能差解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为： ；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：两种情况下势能差是完全一样的。2-18如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量；（2）质点所受张力T的冲量。解：（1）设周期为，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，由，旋转一周的冲量；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且，张力T旋转一周的冲量：所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。2-19质量为的质点在平面内运动，运动学方程为，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从到的时间内质点受到的冲量。解：（1）根据动量的定义：，而， ；（2）由 ，所以冲量为零。2-20质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小=30m/s，设穿透时间极短。求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：根据圆周运动的规律：，有：；（2）根据冲量定理可得：。2-21一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为，中微子的动量为，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为，求其反冲动能。解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1） 又， ，所以 ， ；（2）反冲的动能为：。2-22有质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为。，而， ， 。2-23如图，光滑斜面与水平面的夹角为，轻质弹簧上端固定今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动当木块向下滑时，恰好有一质量的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得： (碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向动量守恒定律，可得： 。2-24以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩；（2）质点的角动量。解：（1）（2）2-25人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：（1）卫星在近地点及远地点处的速率和（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径。解：（1）利用角动量守恒：，得 ，同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：，所以：，考虑到：，有： ，；（2）利用万有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。解：第二宇宙速度时，由机械能守恒：再由动量守恒：，代入：。2-27如图，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程： ，联立，解得：， 。2-28如图所示，一均匀细杆长为，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过中心且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考虑对称性，有摩擦力矩：；（2）根据转动定律，有：，。或利用：，考虑到， 有：。2-29如图所示，滑轮转动惯量为，半径为；物体的质量为，用一细绳与劲度系数的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为，下落最大距离为。由机械能守恒：，有：；（2）当物体下落时，由机械能守恒：，考虑到，有：，欲求速度最大值，将上式两边对求导，且令，有：，将代入，有：，当m时物体速度达最大值，有：，代入数值可算出： 。2-30如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为和的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解：根据角动量守恒，有：有：思考题2-1质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示设木板和墙壁之间的夹角为a，当a逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1，方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于木板，小球受重力为mg，建立平衡方程： ，所以当增大，小球对木板的压力N2将减小；小球对墙壁的压力也减小。2-2质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动，对A进行受力分析，知：，对B进行受力分析，知：突然撤消拉力时，对A有：，所以，对B有：，所以。2-3如图所示，用一斜向上的力 (与水平成30角)，将一重为的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数m的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知： 整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即：（此式中F无论为多大，总成立），则可得：。2-4如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B) 它的速率均匀增加。(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。(D) 它的合外力大小不变。(E) 轨道支持力的大小不断增加。解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。下滑过程中的和v都在增大，所以N也在增大，则E的说法正确。2-5和两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力一样，位移也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?答：根据功的定义：所以当它们受到的水平恒力一样，位移也一样时，两个功是相等的；但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。2-6按质点动能定理，下列式子：是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。2-7在劲度系数为的弹簧下，如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?答：如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为，所以；如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：，所以。2-8一粒子初时沿轴负向以速度运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与轴成的方向运动(速度大小不变)试用矢量在图上表出粒子所受到的冲量的大小和方向。解：由：，考虑到，见右图示。2-9试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，表示这块空气的质量，和分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，必然对帆有一个反作用力，此力的方向偏向船前进的方向，将分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。2-10当质量为的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：，试分析上述三个方程各在什么条件下成立。解：（1）机械能守恒； （2）角动量守恒； （3）万有引力提供向心力。2-11在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。2-12体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁在用力，谁不在用力无关。选择C。2-13一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？ 答：增大2-14一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除