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(8) 离散型随机变量的均值与方差 、正态分布

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第九节 离散型随机变量的均值与方差 、正态分布

1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)．
X
－1
0
1
P

A. B. C. D．2
2．已知X的分布列为，设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)．
A. B．4 C．－1 D．1
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9
4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(　　)．
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
5．随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
该随机变量ξ的均值是________．
凡诺学堂专题训练一
方差期望

典题导入

【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1和B1

A2和B2

A3和B3

现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．
[审题视点] 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．

以题试法
变式：本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

凡诺学堂专题训练二
方差期望计算

典题导入
【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，.

以题试法
变式： 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．

凡诺学堂专题训练三
分布列

典题导入

X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
【例3】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3　5　3　3　8　5　5　6　3　4
6　3　4　7　5　3　4　8　5　3
8　3　4　3　4　4　7　5　6　7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

以题试法
变式：某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能
不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)；
(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)．
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于(　　)．
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于(　　)．
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
4．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于(　　)．
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
6.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P

m
n

其中m，n∈[0,1)，且E(ξ)＝，则m，n的值分别为________．
7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于________．
8.甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

9.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．

10.设X～N(1,22)，试求 (1)P(－1<X≤3) (2)P(3<X≤5) (3)P(X≥5)．
将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．

1. 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________.

2.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？

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