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根与系数的关系(韦达定理)练习题

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一元二次方程根与系数的关系练习题

一．选择题（共14小题）
1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（　　）

A．
x2﹣x+2=0
B．
x2﹣2x+2=0
C．
x2﹣x﹣2=0
D．
2x2﹣4x+1=0
2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）

A．
x2﹣3x+6=0
B．
x2﹣3x﹣6=0
C．
x2+3x﹣6=0
D．
x2+3x+6=0
3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（　　）

A．
﹣4
B．
6
C．
8
D．
12
4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（　　）

A．
19
B．
15
C．
11
D．
3
5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（　　）

A．
6
B．
0
C．
7
D．
﹣1
6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（　　）

A．
2
B．
﹣2
C．
﹣6或2
D．
6或﹣2
7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（　　）

A．
3n2=16m2
B．
3m2=16n
C．
m=3n
D．
n=3m2
8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（　　）

A．
365
B．
245
C．
210
D．
175
9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（　　）

A．
﹣4
B．
4
C．
8或﹣4
D．
8
10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　）

A．
2008
B．
2009
C．
2010
D．
2011
11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（　　）

A．
﹣4
B．
8
C．
6
D．
0
12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（　　）

A．
2007
B．
2008
C．
2009
D．
2010
13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（　　）

A．
0
B．
4
C．
﹣1
D．
﹣4
14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（　　）

A．
1006
B．
2011
C．
2012
D．
2013
二．填空题（共5小题）
15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　_________　．
16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=　_________　．
17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是　_________　．
18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为　_________　．
19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为　_________　．
三．解答题（共11小题）
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．

21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．

22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？

23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．

24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．

25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．

26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．

27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．

一元二次方程要与系数的关系练习题
参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）
1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（　　）

A．
x2﹣x+2=0
B．
x2﹣2x+2=0
C．
x2﹣x﹣2=0
D．
2x2﹣4x+1=0

考点：
根与系数的关系．
专题：
方程思想．
分析：
利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．
解答：
解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；
B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；
C、∵x1+x2=1；故本选项错误；
D、∵x1+x2=2；故本选项正确；
故选D．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．

2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）

A．
x2﹣3x+6=0
B．
x2﹣3x﹣6=0
C．
x2+3x﹣6=0
D．
x2+3x+6=0

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
利用根与系数的关系求解即可．
解答：
解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，
那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
故选：B．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．

3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（　　）

A．
﹣4
B．
6
C．
8
D．
12

考点：
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分析：
根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．
解答：
解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．
∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．
又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．
将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得
（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．
故选C
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（　　）

A．
19
B．
15
C．
11
D．
3

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答：
解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．
∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．
∴2x12﹣2x1+x22+3
=x12﹣2x1+x12+x22+3
=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3
=4+4+8+3=19．
故选A．
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（　　）

A．
6
B．
0
C．
7
D．
﹣1

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．
解答：
解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．
∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．
故选A
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．

6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（　　）

A．
2
B．
﹣2
C．
﹣6或2
D．
6或﹣2

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
方程思想．
分析：
由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．
解答：
解；由题意知
x1+x2=a=4a﹣3，
∴a=1，
∴x1x2=﹣2a=﹣2．
故选B．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．

7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（　　）

A．
3n2=16m2
B．
3m2=16n
C．
m=3n
D．
n=3m2

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；
解答：
解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，
∴设一根为a，则另一根为3a，
由根与系数的关系，
得：a•3a=n，a+3a=﹣m，
整理得：3m2=16n，
故选B．
点评：
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．

8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（　　）

A．
365
B．
245
C．
210
D．
175

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a•b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．
解答：
解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，
∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，
∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；
b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；
又由韦达定理，知
a•b=7；
∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a•b=25×7=175．
故选D．
点评：
本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．

9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（　　）

A．
﹣4
B．
4
C．
8或﹣4
D．
8

考点：
根与系数的关系；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．
解答：
解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，
∴a2+b2=25，
又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，
∴（a+b）2﹣2ab=25，①
∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，
∴a+b=m﹣1，②
ab=m+4，③
由①②③，解得
m=﹣4，或m=8；
当m=﹣4时，ab=0，
∴a=0或b=0，（不合题意）
∴m=8；
故选D．
点评：
本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．

10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　）

A．
2008
B．
2009
C．
2010
D．
2011

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
解答：
解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，
∴m+n=﹣1，
并且m2+m﹣2012=0，
∴m2+m=2011，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．
故选D．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（　　）

A．
﹣4
B．
8
C．
6
D．
0

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．
解答：
解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，
即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，
所以x13﹣4x22+19
=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19
=3x1﹣x12+4x2+7
=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7
=4（x1+x2）+4，
又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，
所以原式=4×（﹣1）+4=0．
故选D．
点评：
本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．

12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（　　）

A．
2007
B．
2008
C．
2009
D．
2010

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．
解答：
解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，
∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．
∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．
故选C．
点评：
此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．

13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（　　）

A．
0
B．
4
C．
﹣1
D．
﹣4

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．
解答：
解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，
∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；
x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；
又根据韦达定理知x1•x2=﹣1
∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1•（﹣2x2）=4x1•x2=﹣4；
故选D．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（　　）

A．
1006
B．
2011
C．
2012
D．
2013

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．
解答：
解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，
∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；
又由韦达定理知，m+n=1，
∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；
故选D．
点评：
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．

二．填空题（共5小题）
15．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　　．

考点：
根与系数的关系；二次函数的最值．菁优网版权所有
专题：
判别式法．
分析：
由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．
解答：
解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，
则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，
∴m≤，
∵x1（x2+x1）+x22
=（x2+x1）2﹣x1x2
=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m2﹣m+﹣）+2
=3（m﹣）2 +；
∴当m=时，有最小值；
∵＜，
∴m=成立；
∴最小值为；
故答案为：．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

16．（2013•江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=　﹣5　．

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1•x2的值，再整体代入即可求解．
解答：
解：根据根与系数的关系可得，
x1•x2=﹣1，x1+x2=﹣23．
则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．
故答案为：﹣5．
点评：
本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是　1　．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．
解答：
解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．
解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．
又方程有两实数根，△≥0
即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．
解得a≥1．
∴a=﹣3舍去．
∴a=1．
点评：
应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．

18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为　﹣　．

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．
解答：
解：由2x2+3x﹣1=0，
得到：a=2，b=3，c=﹣1，
∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，
设两根分别为x1和x2，
则x1+x2=﹣；
由x2﹣5x+7=0，
找出a=1，b=﹣5，c=7，
∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，
∴此方程没有实数根．
综上，两方程所有的实数根的和为﹣．
故答案为：﹣
点评：
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．

19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为　﹣4　．

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．
解答：
解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，
∴mn﹣（m+n）+1=﹣6
即a﹣3+1=﹣6
解得a=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

三．解答题（共11小题）
20．（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．

考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．
解答：
解：由判别式大于零，
得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，
解得m＜．
∵即．
∴α+β=αβ．
又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．
代入上式得3﹣2m=m2．
解之得m1=﹣3，m2=1．
∵m2=1＞，故舍去．
∴m=﹣3．
点评：
本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．

21．（1998•内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．
即可确定m的取值情况．
解答：
解：设原方程的两根为x1、x2，
则有：，
∴．
又∵，
∴m2﹣20=29，解得m=±7，
∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0
∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．
点评：
利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．

22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？

考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．
解答：
解：由根与系数的关系可得：，
不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，
分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，
当k=0时，显然不合题意，
当k=时，其判别式△=1≥0，
所以当k=时，方程两根之比为1：3．
点评：
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．

23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．

考点：
根与系数的关系；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．
解答：
解：
由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），
再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，
把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，
整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，
当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），
所以m=4．
点评：
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．

24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．
解答：
解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，
令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，
其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，
但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，
所以没有满足△≥0的k的值，
所以该题目无解．
点评：
本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．

25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．

考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1•x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．
解答：
解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1•x2==﹣2k，
又∵x1﹣x2=2，
∴（x1﹣x2）2=22，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，
∴（2k+1）2=4，
∴k1=，k2=﹣，
又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，
方程有两个不等的实数根，
∴（2k+1）2＞0，
∴k≠﹣，
∴k1=，k2=﹣．
点评：
一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．

26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
解答：
解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），
∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，
∴k（k+4）﹣k+1=，
解得k=±3，
当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；
当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．
故所求k的值为﹣3．
点评：
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．

27．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

考点：
根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
专题：
代数综合题；压轴题．
分析：
（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
解答：
解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．（4分）

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．（7分）
∵k为整数，
∴k的值为﹣1和0．（8分）
点评：
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．

28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
分析：
根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；
（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．
解答：
解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；
∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，
∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，
解得，a≥0，且a≠6；
（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，
∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，
解得，a=24＞0；
∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；

（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，
∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，
∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，
∴a=12，9，8，7；
∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．
点评：
本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．

29．（2010•东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；
（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．
解答：
解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，
解方程组，
解得，
∴m=x1•x2=．
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．

30．（2005•福州）已知