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软测量作业1-4题答案

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工业过程建模与软测量课程作业1
作业1：假设已知Qi、R1和R2、A1和A2，试根据物料平衡方程建立机理模型，求液位h1和h2。
解：假设忽略两个储罐的蒸发量，根据物料平衡方程，可列出如下的微分方程
（1）
（2）
根据流体运动方程可得：
（3）
（4）
于是，串接液位储罐过程机理模型如下：
（5）

作业2：
MATLAB回归分析程序如下
x=[0.5;0.7;1.0;2.0;4.0;5.0;7.0;8.0;10.0;12.0;15.0]; %输入数据
X=[ones(11,1),x];
Y=[0.139;0.196;0.272;0.545;1.033;1.272;1.671;1.807;1.991;2.088;2.121];
plot(x,Y); %输入图像
[b,bint,r,rint,stats]=regress (Y,X,0.02); %回归分析
b,bint,stats
rcoplot(r,rint); %作残差图
z=b(1)+b(2)*x; %预测及作图
plot(x,Y,'k+',x,z,'r');
grid on;

结果如下
b =
0.2855
0.1533
bint =
-0.0731 0.6440
0.1059 0.2007
stats =
0.9023 83.1657 0.0000 0.0685
从MATLAB计算结果中，我们可以得出， =0.2855， =0.1533，的置信区间为[-0.0731，0.6440]，的置信区间为[0.1059,0.2007],，。
，则回归模型成立。
图一为原始数据的拟合曲线，从曲线中可以看出，x与Y之间存在线性关系。

图一 x与Y拟合曲线
图二为残差图，从残差图中可以卡出，除最后一个数据外，其余数据的残杀离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据，而最后一个数据可视为异常点。
图二 残差图
图三为拟合直线与散点图

图三 回归直线

作业3：
（1）建模方法如下
采用多元线性回归分析来建立模型，根据所给出的数据，系统有两个输出变量（PH值）和（亚硫酸浓度），五个输入变量（甲基丙稀磺酸钠浓度）、（氯酸钠浓度）、（焦亚硫酸钠浓度）、（β羟基乙硫醇浓度）、（聚合釜反应温度），且共有34组测量数据。在这里，我们选用前32组数据进行回归分析，最后两组数据进行验证。在建模过程中研究与个自变量之间的线性相关关系，为随机变量，为一般变量，相互之间不相关，为随机误差。
假定因变量与自变量线性相关。以为例，收集到组数据满足以下关系：

则所建回归模型的矩阵形式为：

以上为经典多远回归模型，其中是可观测的随机向量，是不可观测的随机向量，C是已知矩阵，是未知参数，并且，且。
根据最小二乘可得的最佳线性无偏估计为：

由此解得多元线性回归方程的回归系数，构建多元线性回归模型。写成标量形式：

（2）仿真与验证
MATLAB回归分析程序如下：
x=[0.050 0.169 0.450 0.077 56.0;0.055 0.169 0.450 0.077 56.0;
0.065 0.169 0.450 0.077 56.0;0.070 0.169 0.450 0.077 56.0;
0.080 0.169 0.450 0.077 56.0;0.085 0.169 0.450 0.077 56.0;
0.070 0.150 0.450 0.077 56.0;0.070 0.155 0.450 0.077 56.0;
0.070 0.160 0.450 0.077 56.0;0.070 0.165 0.450 0.077 56.0;
0.070 0.170 0.450 0.077 56.0;0.070 0.175 0.450 0.077 56.0;
0.070 0.180 0.450 0.077 56.0;0.070 0.169 0.435 0.077 56.0;
0.070 0.169 0.440 0.077 56.0;0.070 0.169 0.445 0.077 56.0;
0.070 0.169 0.450 0.077 56.0;0.070 0.169 0.455 0.077 56.0;
0.070 0.169 0.460 0.077 56.0;0.070 0.169 0.465 0.077 56.0;
0.070 0.169 0.470 0.077 56.0;0.070 0.169 0.450 0.060 56.0;
0.070 0.169 0.450 0.065 56.0;0.070 0.169 0.450 0.070 56.0;
0.070 0.169 0.450 0.075 56.0;0.070 0.169 0.450 0.080 56.0;
0.070 0.169 0.450 0.085 56.0;0.070 0.169 0.450 0.090 56.0;
0.070 0.169 0.450 0.077 50.0;0.070 0.169 0.450 0.077 52.0;
0.070 0.169 0.450 0.077 54.0;0.070 0.169 0.450 0.077 56.0];
%输入数据
X=[ones(32,1),x];
y1=[2.0;2.0;2.0;2.0;2.0;1.95;2.0;2.0;2.0;2.0;2.0;2.0;2.0;1.9;1.9;1.9;2.0;
2.0;1.9;1.9;1.9;2.2;2.0;2.0;2.0;1.9;1.85;1.85;1.9;1.9;2.0;2.0];
y2=[0.00154;0.00144;0.00133;0.00123;0.00133;0.00143;0.00297;0.00277;
0.00266;0.00143;0.00113;0.00113;0.00113;0.00267;0.00215;0.00144;
0.00123;0.00133;0.00195;0.00205;0.00215;0.00164;0.00154;0.00154;
0.00143;0.00102;0.00092;0.00062;0.00133;0.00133;0.00123;0.00123];
[b1,bint1,r1,rint1,stats1]=regress(y1,X); %回归分析及检验
b1,bint1,stats1
[b2,bint2,r2,rint2,stats2]=regress(y2,X);
b2,bint2,stats2
rcoplot(r1,rint1); %作残差图
rcoplot(r2,rint2);

结果如下
b1 =
2.7783
-1.2997
-1.1891
-0.7367
-10.0725
0.0105
bint1 =
1.0917 4.4650
-4.4686 1.8691
-4.7070 2.3289
-3.7272 2.2538
-13.7423 -6.4027
-0.0033 0.0242
stats1 =
0.5823 7.2495 0.0002 0.0023
b2 =
0.0140
-0.0017
-0.0768
0.0009
-0.0280
0.0000
bint2 =
-0.0008 0.0288
-0.0295 0.0260
-0.1076 -0.0459
-0.0253 0.0271
-0.0602 0.0041
-0.0001 0.0002
stats2 =
0.5372 6.0369 0.0008 0.0000
从MATLAB的运算结果可得出

图四为的残差图，图五为的残差图，从图中可以看出，回归模型能较好的符合测量数据。

验证如下：
输入数据为：
输入变量
输出变量
甲基丙稀磺酸钠浓度（A1）（%）
氯酸钠浓度（A2）

（%）
焦亚硫酸钠浓度（A3）（%）
β羟基乙硫醇浓度（A4）（%）
聚合釜反应温度
℃
PH值
亚硫酸浓度（H2SO3） （%）
0.070
0.169
0.450
0.077
60.0
2.0
0.00113
0.070
0.169
0.450
0.077
62.0
2.0
0.00113
带入方程

得

作业4：
MATLAB程序如下：
f11=fopen('sampledata.txt','r');
[r01,c]=fread(f11,[100,4],'float');
fclose(f11);

X=r01(:,1:3);
Y=r01(:,4);
pz=[X,Y];

% function y=pls(pz);
[row,col]=size(pz);
[row,col]=size(pz);
aver=mean(pz);
stdcov=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
stdarr=(pz-aver(ones(row,1),:))./stdcov(ones(row,1),:); %标准化数据结果与zscore()一致
x0=pz(:,1:col-1);
y0=pz(:,end); %提取原始的自变量、因变量数据
e0=stdarr(:,1:col-1);
f0=stdarr(:,end); %提取标准化后的自变量、因变量数据
num=size(e0,1); %求样本点的个数
temp=eye(col-1); %对角阵

%以下计算w,w*和t的得分向量
for i=1:col-1
p=e0'*f0;
q=norm(p);
w(:,i)=p/q;
t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分ti的得分
alpha(:,i)=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)) %计算alpha_i,其中(t(:,i)'*t(:,i))等价于norm(t(:,i))^2
e=e0-t(:,i)*alpha(:,i)' %计算残差矩阵
e0=e;

%计算w*矩阵
if i==1
w_star(:,i)=w(:,i);
else
for j=1:i-1
temp=temp*(eye(col-1)-w(:,j)*alpha(:,j)');
end
w_star(:,i)=temp*w(:,i);
end

%以下计算ss(i)的值
beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0 %求回归方程的系数
beta(end,:)=[]; %删除回归分析的常数项
cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和

%以下计算press(i)
for j=1:num
t1=t(:,1:i);
f1=f0;
she_t=t1(j,:);
she_f=f1(j,:); %把舍去的第j个样本点保存起来
t1(j,:)=[];
f1(j,:)=[]; %删除第j个观测值
beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
beta1(end,:)=[]; %删除回归分析的常数项
cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
press_i(j)=sum(cancha.^2);
end
press(i)=sum(press_i)
if i>1
Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1)
else
Q_h2(1)=1
end
if Q_h2(i)<0.0985
fprintf('提出的成分个数r=%d',i);
r=i;
break
end
end

beta_z=[t,ones(num,1)]\f0; %求标准化Y关于主成分得分向量t的回归系数
beta_z(end,:)=[]; %删除常数项
xishu=w_star*beta_z; %求标准化Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，每一列是一个回归方程
mu_x=aver(1:col-1);
mu_y=aver(end);
sig_x=stdcov(1:col-1);
sig_y=stdcov(end);
ch0=mu_y-mu_x./sig_x*sig_y*xishu; %计算原始数据的回归方程的常数项
xish=xishu'./sig_x*sig_y; %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
Rc=corrcoef(x0*xish'+ch0,y0)
sol=[ch0;xish'] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数
y=sol;

结果如下：
sol =

1.0e+05 *

-0.0000
1.2931
-0.6463
-0.6463

因此，偏最小二乘回归方程如下：

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