24.3-正多边形和圆培训资料.doc

24.3 正多边形和圆

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2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习
24.3 正多边形和圆
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一．选择题（共12小题）
1．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形
外接圆半径是（　　）
A． B．5 C． D．5
2．下列关于圆的叙述正确的有（　　）
①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，
则该圆形纸片的面积最少为（　　）
A．Π B． C．2π D．4π
4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，
使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．
在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M
间的距离可能是（　　）
A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣1
4． 如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F
为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O
的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（　　）

A． B． C． D．
6．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A．2 B．1 C． D．
7． 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线
DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（　　）
A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF=
8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，
则阴影部分的面积等于（　　）

A．10 B．20 C．18 D．20
8． 如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，
相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中
A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向
旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'
的坐标是（　　）

A．（1，） B．（，1） C．（1，） D．（﹣1，）
11．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）

A．2cm B． cm C． cm D．1cm
12．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（　　）

A．6 B．12 C．6 D．6

二．填空题（共6小题）
13．圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是　 　cm．
14．正六边形的边长为4cm，它的半径等于　 　cm．
15．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于　 　．
16．如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为　 　．

17． 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，
C两点，则∠OCB的度数为　 　度．

18． 如图，有一个正六边形图片，每组平行的对边距离为3米，
点A是正六边形的一个顶点，现点A与数轴的原点O重合，
工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好落在数轴
点A′上，则点A′对应的实数是　 　．

三．解答题（共6小题）
19．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．
（1）求证：AB=EF；
（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．

20．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为　 　；
（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，
求出n的值；如果不是，请说明理由．

21． 已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，
求正六边形的周长和面积．

22．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．

23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．

24．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．
（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数

…

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE=10，
所以这个正六边形外接圆半径是，
故选：B．
2．【解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，所以①正确；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以②错误；
正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数，所以③正确；
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以④正确．
故选：C．
3．【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴正方形的对角线的长为2，
∴正方形的外接圆的直径为2，
∴正方形的外接圆的面积=2π，
故选：C．
4．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，

观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，
故选：D．
5．【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，
∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=1，∠ABO=60°，
∴OH==，
∴“三叶轮”图案的面积=（﹣×1×）×6=π﹣，
故选：B．

6．【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，
所以圆的半径为，
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=，
故选：B．
7．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108°，BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=×（180°﹣∠C）=36°，
∴∠ABD=108°﹣36°=72°，
∴∠EAB+∠ABD=180°，
∴AE∥BD，故本选项不符合题意；
B、连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣72°）=54°，
∵FA切⊙O于A，
∴∠OAF=90°，
∴∠FAB=90°﹣54°=36°，
∵∠ABD=72°，
∴∠F=72°﹣36°=36°=∠FAB，
∴AB=BF，故本选项不符合题意；
C、∵∠F=∠CDB=36°，
∴AF∥CD，故本选项不符合题意；
D、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF=∠AHD=90°，
∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，
∴∠ADF=108°﹣36°﹣36°=36°=∠F，
∴AD=AF，
∴FH=DH，
当∠F=30°时，AF=2AH，FH=DH=AH，
此时DF=AF，
∴此时∠F=36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；
故选：D．
8．【解答】解：作出正方形MNQR，如图所示：
△AMB中，AM=x，则BM=x，AB=x，正八边形的边长是x．
则正方形的边长是（2+）x．
根据题意得： x（2+）x=20，
解得：x2=10（﹣1）．
则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．
故选：B．
9．【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，
它们的边长相等，
由正六边形可以分割为6个全等的三角形，
则阴影部分与空白部分的面积比为： =．
故选：A．
10．【解答】解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，
∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴点A旋转6次回到点A，
2018÷6=336…2
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，
在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH=
∴顶点A的坐标为（1，），
故选：A．

11．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1=30°（如图），
∴a=2cos∠1=，
∴a=2．
故选：A．

12．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG=30°，
∴边心距OG=OB•sin∠OBG=12×=6；
故选：D．

二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．

∵OH⊥BC，
∴BH=CH=6，
在Rt△OBH中，OH=BH•tan30°=6×=2（cm），
故答案为：2．
14．【解答】解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB==60°；
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4cm，
故答案为：4

15．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，
得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是5，
因而面积是×5×=cm2，
因而正六边形的面积 cm2．
故答案为cm2．
16．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，
∵AB=BC，
∴∠CAB=36°，
正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，
∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，
故答案为84°．
17．【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，
∴OA⊥AE，OC⊥CD，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∵∠BCD=108°，
∴OCB=108°﹣90°=18°
故答案为18．
18．【解答】解：如图作BH⊥OC于H．

∵BC=BO，BH⊥OC，
∴CH=HO=，
在Rt△CBH中，∵cos30°=，
∴CH=，
由题意OA′=6BC=6，
故答案为6．

三．解答题（共6小题）
19．【解答】解：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=AE，∠BAE=108°，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
同理：∠BAF=∠BCA=36°，
∴∠FAE=∠AFE=72°，
∴AE=EF，
∴AB=EF；
（2）设AB=x，
由（1）知；∠BAF=∠AEB，
∵∠ABF=∠ABE，
∴△ABF∽△EBA，
∴，
即，
解得：（舍去），
∴五边形ABCDE的边长为1+．
20．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1；
故答案为：：1；

（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，
理由：连接OA，OB，OE，
在正方形ABCD中，∠AOB=90°，
在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°，
∴∠BOE=30°，
∵n==12，
∴BE是正十二边形的边．

21．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长AB=OA=a；
正六边形的周长=6AB=6a；
∵OM=OA•sin60°=a，
正六边形的面积S=6××a×a=a2．
22．【解答】解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC=4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD=60°，
∴∠COH=30°，
∴圆心O到CD的距离=4×cos30°=2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积=×4×2×6=24cm2．

23．【解答】解：（1）如图1中，连接OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∴∠AED=∠AOD=45°．

（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．

∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵∠CFA=∠AEC=90°，
∴∠DEC=∠AFB=135°，
∵CD=AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF=CE=1，
∴AC==，
∴AD=AC=，
∵∠DHE=90°，
∴∠HDE=∠HED=45°，
∴DH=HE，设DH=EH=x，
在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，
∴=（4﹣x）2+x2，
解得x=或（舍弃），
∴DE=DH=
24．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；
（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，
同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，
正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，
正n边形ABCD…中，∠BQM=，
故答案为：90°；108°；120°；．
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