【名师一号】2020-2021学年新课标B版高中数学必修5-第一章-解三角形-测试题.docx

第一章测试
(时间：90分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析　由正弦定理得：＝，
∴sinB＝sinA，sin2A＝sinA,2sinAcosA＝sinA，
∵∠A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosA＝，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝90°，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.故选B项．
答案　B
2．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意，设底边长为a，则腰长为2a，设顶角为θ，由余弦定理，得cosθ＝＝.
答案　D
3．在△ABC中，AB＝，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC＝(　　)
A．3－ B.
C．2 D．3＋
解析　∵△ABC中，＝，
∴＝，∴BC＝3－.
答案　A
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A＝，a＝，b＝1，则c＝(　　)
A．1 B．2 C.－1 D.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则∠B的正切值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　∵cosA＝＝＝，
∴c＝2.
答案　B由a2＋c2－b2＝ac，
得cosB＝＝＝，∴sinB＝，∴tanB＝＝，故选A项．
答案　A
5．△ABC的三内角∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则∠C的大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)．
∴c2－a2＝b2－ab，∴ab＝b2＋a2－c2.
由余弦定理，cosC＝＝，∴C＝.
答案　B
6．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这塔吊的高是(　　)
A．20(1＋) m
B．20(1＋) m
C．10(＋) m
D．20(＋) m
解析　由题意，可知＝，∴h＝20(1＋)，如图所示．

答案　B
7．在△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A．18 B．36
C．19 D．38
解析　cosB＝＝.
·＝7×5×＝19.
答案　C
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为(　　)
A. B.
C. D．6
解析　b2－bc－2c2＝0，∴b＝2c.
a2＝b2＋c2－2bccosA，∴6＝4c2＋c2－c2.
∴c＝2，∴b＝4.
∴S＝bcsinA＝×4×2× ＝.
答案　A
9．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝，则sinB等于(　　)
A．± B.
C．± D.
解析　∵sinC·cosB＝sinB·cosC，∴sin(B－C)＝0.
∴∠B＝∠C，∴2∠B＝π－∠A，cos2B＝－cosA＝－.
∴1－2sin2B＝－，∴sin2B＝，∴sinB＝.
答案　D
10．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是(　　)

A．2 B.
C. D.
解析　如图，设AB＝a，则由已知AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，知cosA＝＝.①
又S△ABC＝BD·3＝a2，得BD＝，
代入①式，得a＝.

答案　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，三个角∠A，∠B，∠C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．
解析　由余弦定理，可知该式子的值为.
答案　
12．在△ABC中，若tanA＝，∠C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
解析　∵∠C＝150°，tanA＝，∴sinA＝.
∵＝，∴AB＝.
答案　
13．在△ABC中，sinAsinBsinC＝578，则∠B的大小为________．
解析　sinAsinBsinC＝abc＝578，令a＝5k，b＝7k，c＝8k，k>0.
则cosB＝＝＝.
∴∠B＝.
答案　
14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析　由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC，
∴9＝BC2＋22－2BC·2·cos120°，∴BC＝－1.
答案　－1
三、解答题(本大题共4小题，共50分，其中15、16、17题每题12分，18题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.
(1)求AB的值；
(2)求sin的值．
解　(1)在△ABC中，依据正弦定理，＝，于是AB＝sinC＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，依据余弦定理，
得cosA＝＝.
于是sinA＝＝，
从而sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝cos2A－sin2A＝，
sin(2A－)＝sin2Acos－cos2Asin＝.
16．(12分)已知△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积．
解　(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意，可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理，可知4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)．
∴S＝absinC＝·4·sin＝.
17．(12分)如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

解　在△ADB中，∠BDA＝60°，AB＝14，AD＝10，
由余弦定理得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos60°，
即142＝100＋BD2－2×10××BD.
∴BD2－10BD－96＝0，BD＝16或BD＝－6(舍)．
在△DCB中，∠BDC＝90°－∠BDA＝90°－60°＝30°，∠DCB＝135°，
∴由正弦定理得：＝，
∴BC＝＝8.
18．(14分)在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C所对的三边，已知b2＋c2－a2＝bc.
(1)求∠A的值；
(2)若a＝，cosC＝，求c的长．
解　(1)b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝.
∵0<∠A<π，∴∠A＝.
(2)∵在△ABC中，∠A＝，a＝，cosC＝，
∴sinC＝＝ ＝.
由正弦定理，知＝.
∴c＝＝＝.