【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)阶段性测试题3导数及其应用.docx

阶段性测试题三(导数及其应用)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2022·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(　　)
A．1　　　　　　　 B．－
C. D．
[答案]　C
[解析]　∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
2．(文)(2022·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)
A．2　　 B．3　　　　
C．4　　 D．5
[答案]　D
[解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.
(理)(2022·营口三中期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则a＋b等于(　　)
A．2　　 B．3　　　　
C．6　　 D．9
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知x＝1是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＋b＝6.
3．(2021·皖南八校联考)函数f(x)＝xex－ex＋1的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，e)　　　　　　 B．(1，e)
C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　f ′(x)＝ex＋xex－ex＋1＝ex(1＋x－e)，
由f ′(x)>0得：x>e－1，故选D.
4．(2021·江西乐安一中月考)已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
[答案]　A
[解析]　由条件知ad＝bc，由y＝3x－x3得，y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，当－1<x<1时，y′>0，y＝3x－x3单调递增，当x<－1或x>1时，y′<0，y＝3x－x3单调递减，∴当x＝1时，函数取到极大值，∴极大值点为(1,2)，∴b＝1，c＝2，∴ad＝2.
5．(2021·内蒙赤峰市宁城县月考)函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝＋a，由条件知＋a＝2有解，∴a＝2－，∵x>0，∴a∈(－∞，2)．
6．(2021·韶关市十校联考)设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于－1的极值点，则(　　)
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
[答案]　C
[解析]　由y′＝ex＋a＝0得，ex＝－a，∵函数有大于－1的极值点，∴a＝－ex<－.
7．(文)(2021·江西三县联考)已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋x(a>0)，则f(2)的最小值为(　　)
A．12＋4 B．16
C．8＋8a＋ D．12＋8a＋
[答案]　A
[解析]　∵f ′(x)＝3x2＋4ax＋，∴f ′(2)＝12＋8a＋，
∵a>0，∴f ′(2)≥12＋2＝12＋4，等号在a＝时成立．
(理)(2021·潮阳一中、桂城中学等七校联考)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C. D．
[答案]　D
[解析]　由得两曲线交点坐标为(0,0)，(1,1)，故积分区间为[0,1]，
所求封闭图形的面积为(x2－x3)dx＝(x3－x4)|
＝.
8．(文)(2021·石光中学段考)函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f(2－x)，当x∈(－∞，1)时，(x－1)f ′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则(　　)
A．a<b<c B．c<a<b
C．c<b<a D．b<c<a
[答案]　B
[解析]　由f(x)＝f(2－x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，又x<1时，(x－1)f ′(x)<0，∴f ′(x)>0，∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f()，又f(3)＝f(－1)，∴c<a<b.
(理)(2021·湖北省教学合作十月联考)已知函数f(x)＝logax(0<a<1)的导函数为f ′(x)，M＝f ′(a)，N＝f(a＋1)－f(a)，P＝f ′(a＋1)，Q＝f(a＋2)－f(a＋1)，则A，B，C，D中最大的数是(　　)
A．M　　 B．N　　　　
C．P　　 D．Q
[答案]　D
[解析]　由于函数f(x)＝logax(0<a<1)是可导函数且为单调递减函数，M、P分别表示函数在点a，a＋1处切线的斜率，由于N＝，Q＝，故N，Q分别表示函数图象上两点(a，f(a))，(a＋1，f(a＋1))和两点(a＋1，f(a＋1))，(a＋2，f(a＋2))连线的斜率，由函数图象可知确定有M<N<P<Q，四个数中最大的是Q，故选D.
9．(2021·浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋cx，g(x)＝ax2＋2ax＋c，a≠0，则它们的图象可能是(　　)

[答案]　B
[解析]　由于f ′(x)＝ax2＋2ax＋c，则函数f ′(x)即g(x)图象的对称轴为x＝－1，故可排解A，D；由选项C的图象可知，当x>0时，f ′(x)>0，故函数f(x)＝x3＋ax2＋cx在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，故排解C，本题应选B.
10．(文)(2021·北京师大二附中期中)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)

[答案]　A
[解析]　∵导函数f ′(x)是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，渐渐增大，
故选A.
[点评]　B图中切线斜率渐渐减小，C图中f ′(x)为常数，D图中切线斜领先增大后减小．
(理)(2021·宁夏银川二中统练四)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
[答案]　D
[解析]　由条件知f ′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤x(x＋2)，∵x>－1时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
11．(2021·山东滕州一中单元检测)函数f(x)＝sinx＋2xf ′()，f ′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)>f(b)
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝sinx＋2xf ′()，∴f ′(x)＝cosx＋2f ′()，∴f ′()＝cos＋2f ′()，∴f ′()＝－，∴f(x)＝sinx－x，∴f ′(x)＝cosx－1≤0，∴f(x)在R上为减函数，
∵a＝－，b＝log32>0，∴a<b，∴f(a)>f(b)．
12．(文)(2021·娄底市名校联考)若函数f(x)＝x2－lnx＋1在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[1，)
C．[1，＋2) D．[，2)
[答案]　B
[解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝2x－，
由f ′(x)＝0得x＝，
依题意得∴1≤k<.
(理)(2021·洛阳期中)设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f ′(x)，若f(x)＋f ′(x)>1，f(0)＝2021，则不等式exf(x)>ex＋2022(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　)
A．(2022，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2022，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(0，＋∞)
[答案]　D
[解析]　令F(x)＝exf(x)－ex－2022，∵f(x)＋f ′(x)>1，∴F′(x)＝exf(x)＋exf ′(x)－ex＝ex(f(x)＋f ′(x)－1)>0，
∴F(x)在R上为增函数，又F(0)＝e0f(0)－e0－2022＝2021－1－2022＝0，∴由F(x)>F(0)得x>0，即exf(x)－ex－2022>0的解为x>0，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2021·北郊高中调研)曲线y＝x3＋mx＋c在点P(1，n)处的切线方程为y＝2x＋1，其中m，n，c∈R，则m＋n＋c＝________.
[答案]　5
[解析]　y′＝3x2＋m，
由题意知∴
∴m＋n＋c＝5.
14．(文)(2022·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0]
[解析]　∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又由于f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
(理)(2021·滕州一中检测)已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，则字母a，b，c应满足的条件是________．
[答案]　a＝c＝0，b≤3
[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，∴a＝c＝0，∴f(x)＝x3－bx，f ′(x)＝3x2－b，
∵f(x)在[1，＋∞)上单调，∴≤1，∴b≤3.
15．(文)(2022·西安一中期中)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
[答案]　144
[解析]　设小正方形边长为x，则盒子的容积为v＝x(10－2x)(16－2x)，
即v＝4(x3－13x2＋40x)，(0<x<5)，v′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，
令v′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝(不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，
所以，x＝2时，盒子容积的最大值为144cm3.
(理)(2021·河南八校联考)已知函数f(x)＝esinx＋cosx－sin2x(x∈R)，则函数f(x)的最大值与最小值的差是________．
[答案]　
[解析]　令sinx＋cosx＝t，则sin2x＝t2－1，易知－≤t≤，∴函数f(x)化为y＝et－t2＋.(－≤t≤)，y′＝et－t，令u(t)＝et－t，则u′(t)＝et－1.当0<t≤时，u′(t)>0，当－≤t<0时，u′(t)<0，∴u(t)在[－，0]上单调递减，在[0，]上单调递增，∴u(t)的最小值为u(0)＝1，于是u(t)≥1，∴y′>0，∴函数y＝et－t2＋在[－，]上为增函数，∴其最大值为－，最小值为－，其差为.
16．(2021·山西高校附中月考)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b的值为________．
[答案]　－7
[解析]　f ′(x)＝3x2＋6ax＋6，
由条件知∴
∴或
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
∴f(x)在x＝－1时取到微小值0；当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，f(x)在R上单调递增，与条件冲突，∴a－b＝－7.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析]　(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f ′(1)＝8，
又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，
令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f ′(x)<0，可得－3<x<.
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，)．
(理)(2022·威海期中)已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋5.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与y＝2x＋m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)f ′(x)＝x2－3x＋2，
令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝2.
当x<1或x>2时，f ′(x)>0；当1<x<2时，f′ (x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)．
(2)令f(x)＝2x＋m，即x3－x2＋2x＋5＝2x＋m，
∴x3－x2＋5＝m，
设g(x)＝x3－x2＋5，即考察函数y＝g(x)与y＝m何时有三个公共点，
令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝3.
当x<0或x>3时，g′(x)>0，
当0<x<3时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，g(0)＝5，g(3)＝，
依据图象可得<m<5.
18．(本小题满分12分)(2021·庐江二中、巢湖四中联考)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)求f(x)的极值．
[解析]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由已知有f ′(1)＝f ′(－1)＝0，f(1)＝－1，
即∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x，∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x<－1时，或x>1时，f ′(x)>0.当－1<x<1时，f ′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)内分别为增函数；在(－1，1)内是减函数．
∴当x＝－1时，函数f(x)取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数f(x)取得微小值f(1)＝－1.
19．(本小题满分12分)(2022·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．
[解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
(1)由题意得，
解得
经检验得x＝时，y＝f(x)有微小值，
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知，f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．
令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝，
f ′(x)，f(x)的值随x的变化状况如下表：
x
－4
(－4，－2)
－2
(－2，)

(，1)
1
f ′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)

单调递增
极大值
单调递减
微小值
单调递增

函数值
－11

13

4
∵f()＝，f(－2)＝13，f(－4)＝－11，f(1)＝4，
∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.
20．(本小题满分12分)(2021·皖南八校联考)函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1(a∈R)的导函数为f ′(x)．
(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
(2)已知不等式f ′(x)>x2＋x－a对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围．
[解析]　(1)f ′(x)＝ax2－x＋a，由于函数f(x)在x＝2时取得极值，所以f ′(2)＝0.
即4a－2＋a＝0，解得a＝，此时f ′(x)在x＝2两边异号，f(x)在x＝2处取得极值．
(2)方法一：由题设知：ax2－x＋a>x2＋x－a对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．
设g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈R)，则对任意x∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)，
所以对任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，
即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0，于是x的取值范围是
{x|－2≤x≤0}．
方法二：由题设知：ax2－x＋a>x2＋x－a，对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立，
于是a>对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即≤0.
∴－2≤x≤0，于是x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．
21．(本小题满分12分)(2022·威海期中)已知f(x)＝ex，g(x)＝lnx.
(1)求证：g(x)<x<f(x)；
(2)设直线l与f(x)、g(x)的图象均相切，切点分别为(x1，f(x1))、(x2，g(x2))，且x1>x2>0，求证：x1>1.
[解析]　(1)令y＝f(x)－x＝ex－x，则y′＝ex－1，
令y′＝0，解得x＝0，
当x<0时y′<0，当x>0时y′>0，
∴当x＝0时，ymin＝e0－0＝1>0，
∴ex>x，
令y＝x－g(x)＝x－lnx，y′＝1－＝(x>0)，
令y′＝0，解得x＝1，
当0<x<1时y′<0，当x>1时y′>0，
∴当x＝1时，ymin＝1－ln1＝1>0，
∴x>lnx，(x>0)，
∴g(x)<x<f(x)．
(2)f ′(x)＝ex，g′(x)＝，切点的坐标分别为(x1，ex1)，(x2，lnx2)，由题意可得方程组：

∵x1>x2>0，∴ex1>1，∴＝ex1>1，∴0<x2<1，
由②得lnx2－ex1＝ex1 (x2－x1)，
∴lnx2＝ex1 (x2－x1＋1)，
∵0<x2<1，∴lnx2<0，∴x2－x1＋1<0，
即x1>x2＋1>1，
∴x1>1.
22．(本小题满分14分)(文)(2021·娄底市名校联考)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3x(x∈R)．
(1)若a＝1，点P为曲线y＝f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.
[解析]　(1)设切线的斜率为k，
则k＝f ′(x)＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
当x＝1时，kmin＝1.又f(1)＝，
所以所求切线的方程为y－＝x－1，
即3x－3y＋2＝0.
(2)f ′(x)＝2x2－4ax＋3，要使y＝f(x)为单调递增函数，必需满足f ′(x)>0，即对任意的x∈(0，＋∞)，恒有2x2－4ax＋3>0，
∴a<＝＋，而＋≥，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以a<，
所求满足条件的a值为1.
(理)(2021·江西乐安一中月考)已知函数f(x)＝x2＋alnx，g(x)＝(a＋1)x，a≠－1.
(1)若函数f(x)，g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
(2)若a∈(1，e](e＝2.71828…)，设F(x)＝f(x)－g(x)，求证：当x1，x2∈[1，a]时，不等式|F(x1)－F(x2)|<1成立．
[解析]　(1)f ′(x)＝x＋，g′(x)＝a＋1，
∵函数f(x)，g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，
∴当x∈[1,3]时，f ′(x)·g′(x)＝≥0恒成立，
即(a＋1)(x2＋a)≥0恒成立，
∴在x∈[1,3]时恒成立，或在x∈[1,3]时恒成立，
∵－9≤－x2≤－1，∴a>－1或a≤－9.
(2)F(x)＝x2＋alnx－(a＋1)x，F′(x)＝x＋－(a＋1)＝，
∵F(x)定义域是(0，＋∞)，a∈(1，e]，即a>1，
∴F(x)在(0,1)上是增函数，在(1，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时，F(x)取极大值M＝F(1)＝－a－，
当x＝a时，F(x)取微小值m＝F(a)＝alna－a2－a，
∵x1，x2∈[1，a]，∴|F(x1)－F(x2)|≤|M－m|＝M－m，
设G(a)＝M－m＝a2－alna－，则G′(a)＝a－lna－1，
∴[G′(a)]′＝1－，∵a∈(1，e]，∴[G′(a)]′>0，
∴G′(a)＝a－lna－1在a∈(1，e]是增函数，∴G′(a)>G′(1)＝0，
∴G(a)＝a2－alna－在a∈(1，e]也是增函数，
∴G(a)≤G(e)，即G(a)≤e2－e－＝－1，
而－1<－1＝1，∴G(a)＝M－m<1，
∴当x1，x2∈[1，a]时，不等式|F(x1)－F(x2)|<1成立．