《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第六章-第6讲-数学归纳法-轻松闯关.docx

1．假如命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对全部正整数n都成立
B．p(n)对全部正偶数n都成立
C．p(n)对全部正奇数n都成立
D．p(n)对全部自然数n都成立
解析：选B.由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对全部正偶数都成立．
2．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1　　　　　 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的其次步是(　　)
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)
D．假设n＝k时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N*)
解析：选B.∵n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N*)．
4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增加的代数式是________．
解析：∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
6．(2021·皖南三校联考)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________．(n≥1，n是自然数)
解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
答案：4　n2－n＋2
7．(2022·高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.
又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，结论明显成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝2k＋1，
则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，
∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，对于∀n∈N*，an＝2n＋1.
8．设实数c>0, 整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.
证明：用数学归纳法证明．
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，
不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
9．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．依据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．