2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:第4篇-第3讲-平面向量的数量积.docx
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1、第3讲平面对量的数量积最新考纲1理解平面对量数量积的含义及其物理意义2了解平面对量的数量积与向量投影的关系3把握数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.知 识 梳 理1平面对量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a0.(2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面对量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1,y1),b(x2,
2、y2),为向量a,b的夹角(1)数量积:ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模:|a|.(3)夹角:cos .(4)两非零向量ab的充要条件:ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3平面对量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(安排律)辨 析 感 悟1对平面对量的数量积的生疏(1)两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算的结果是向量()(2)(2021湖北卷改编)已知点A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4),则向量在方向上的投影为.()(3
3、)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角()2对平面对量的数量积的性质、运算律的理解(4)ab0,则a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)abac(a0),则bc.()感悟提升三个防范一是两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,如(1);二是在向量数量积的几何意义中,投影是一个数量,不是向量设向量a,b的夹角为,当为锐角时,投影为正值;当为钝角时,投影为负值;当为直角时,投影为0;当0时,b在a的方向上投影为|b|,当180时,b在a方向上投影为|b|,如(2);当0时,ab0,180,ab0,即ab0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件,如(3)
4、;三是ab0不能推出a0或b0,由于ab0时,有可能ab,如(4) 考点一平面对量数量积的运算【例1】 (1)(2022威海期末考试)已知a(1,2),2ab(3,1),则ab()A2 B3 C4 D5(2)(2021江西卷)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若ae13e2,b2e1,则向量a在b方向上的射影为_解析(1)a(1,2),2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)ab(1,2)(1,3)1235.(2)由于ae13e2,b2e1,所以|b|2,ab(e13e2)2e12e6e1e2265,所以a在b方向上的射影为|a|cos.答案(1)D(2)同
5、学用书第74页规律方法 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义具体应用时可依据已知条件的特征来选择,同时要留意数量积运算律的应用【训练1】 (1)若向量a(1,1),b(2,5),c(3,x)满足条件(8ab)c30,则x()A6 B5 C4 D3(2)(2021山东卷)已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3),所以(8ab)c(6,3)(3,x)30,即183x30,解得x4.故选C.(2),0,()0,即()()(1)220.向量与的夹角为120,|3,|2,(1)|cos 12
6、0940,解得.答案(1)C(2)考点二向量的夹角与向量的模【例2】 (1)若非零向量a,b满足|a|3|b|a2b|,则a与b夹角的余弦值为_(2)已知向量a,b满足ab0,|a|1,|b|2,则|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24ab,则|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ,即04|b|243|b|2cos ,得cos .(2)由于|2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448,故|2ab|2.答案(1)(2)2规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)|a|常用来求向量的模【训练2】 (1)(2022长沙模拟)已知
7、向量a,b夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|_.(2)若平面对量a,b满足|a|1,|b|1,且以向量a,b为邻边的平行四边形的面积为,则a和b的夹角的取值范围是_解析(1)由|2ab|平方得,4a24abb210,即|b|24|b|cos 45410,亦即|b|22|b|60,解得|b|3或|b|(舍去)(2)依题意有|a|b|sin ,即sin ,由|b|1,得sin 1,又0,故有.答案(1)3(2)考点三平面对量的垂直问题【例3】 已知a(cos ,sin ),b(cos ,sin )(0)(1)求证:ab与ab相互垂直;(2)若kab与akb的模相等,求(其中k为非零实数)
8、审题路线证明两向量相互垂直,转化为计算这两个向量的数量积问题,数量积为零即得证由模相等,列等式、化简求.(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0,ab与ab相互垂直(2)解kab(kcos cos ,ksin sin ),akb(cos kcos ,sin ksin ),|kab|,|akb|.|kab|akb|,2kcos()2kcos()又k0,cos()0.0,0,.规律方法 (1)当向量a与b是坐标形式给出时,若证明ab,则只需证明ab0x1x2y1y20.(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示且
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