《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第3讲-等比数列及其前n项和.docx
《《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第3讲-等比数列及其前n项和.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第3讲-等比数列及其前n项和.docx(6页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
第3讲 等比数列及其前n项和 1.等比数列的有关概念 (1)定义: 假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q. (2)等比中项: 假如a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn-1. (2)前n项和公式:Sn= 3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(m,n,p,q,r,k∈N*) (1)若m+n=p+q=2r,则am·an=ap·aq=a; (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列; (3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1). [做一做] 1.(2022·高考重庆卷)对任意等比数列{an},下列说法确定正确的是( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 解析:选D.设等比数列的公比为q,由于==q3,即a=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.故选D. 2.(2022·高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________. 解析:由于a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 答案:4 1.辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0,但q可为正数,也可为负数. (2)由an+1=qan,q≠0,并不能马上断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. (3)在运用等比数列的前n项和公式时,必需留意对q=1与q≠1分类争辩,防止因忽视q=1这一特殊情形而导致解题失误. 2.等比数列的三种判定方法 (1)定义:=q(q是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列. (2)通项公式:an=cqn-1(c、q均是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列. (3)等比中项法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列. 3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中依据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键. (2)分类争辩思想:在应用等比数列前n项和公式时,必需分类求和,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=;在推断等比数列单调性时,也必需对a1与q分类争辩. [做一做] 3.(2021·海淀区其次学期期中练习)在数列{an}中,“an=2an-1,n=2,3,4,…”是“{an}是公比为2的等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B.当an=0时,也有an=2an-1,n=2,3,4,…,但{an}是等差数列,不是等比数列,因此充分性不成立.当{an}是公比为2的等比数列时,有=2,n=2,3,4,…,即an=2an-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立.故选B. 4.若等比数列{an}满足a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的前n项和Sn=________. 解析:由题意a2+a5=q(a1+a4),得20=q×10,故q=2,代入a1+a4=a1+a1q3=10,得9a1=10,得a1=. 故Sn==(2n-1). 答案:(2n-1) __等比数列的基本运算(高频考点)________ 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属中、低档题. 高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度: (1)求首项a1、公比q或项数n;(2)求通项或特定项;(3)求前n项和. (1)(2021·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=4,Sk=63,则k=________. (2)已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=________. (3)(2022·高考重庆卷节选)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,由已知a1=1,a3=4,得q2==4.又{an}的各项均为正数,∴q=2.而Sk==63,∴2k-1=63,解得k=6. (2)设数列{an}的首项为a1,公比为q, ∵a=a10,2(an+an+2)=5an+1, ∴ 由①得a1=q, 由②知q=2或q=, 又数列{an}为递增数列,∴a1=q=2,从而an=2n. [答案] (1)6 (2)2n (3)解:由于{an}是首项为1,公差为2的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1, Sn=1+3+…+(2n-1)= ==n2. 所以a4=7,S4=16. 由于q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又由于b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1. 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1). [规律方法] 等比数列运算的通法: 与等差数列一样,求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1·qn-1(a1q≠0)及前n项和公式Sn=中共有五个变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或方程组求另外两个变量,在求公比q时,要留意应用q≠0验证求得的结果. 1.(1)(2021·北京海淀模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S2+a2,S3成等差数列,则数列{an}的公比为( ) A.1 B.2 C. D.3 (2)(2021·河北唐山高三统考)在公比大于1的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,则a12=( ) A.96 B.64 C.72 D.48 (3)(2021·东北三校其次次模拟)已知数列{an}满足2an+1+an=0,a2=1,则数列{an}的前10项和S10为( ) A.(210-1) B.(210+1) C.(2-10-1) D.(2-10+1) 解析:(1)选D.由于S1,S2+a2,S3成等差数列,所以2(S2+a2)=S1+S3,2(a1+a2+a2)=a1+a1+a2+a3,a3=3a2,q=3. (2)选A.由题意及等比数列的性质知a3a7=a2a8=72,又a2+a8=27,∴a2,a8是方程x2-27x+72=0的两个根, ∴或又公比大于1, ∴∴q6=8,即q2=2,∴a12=a2q10=3×25=96. (3)选C.∵2an+1+an=0,∴=-. 又a2=1,∴a1=-2,∴{an}是首项为-2,公比为q=-的等比数列,∴S10===(2-10-1),故选C. __等比数列的判定与证明________________ (2021·东北三校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*). (1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3; (2)求证:数列{an+(-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公式. [解] (1)在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令n=1,2,3得: ,解得 (2)证明:由Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得 Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减得: an=2an-1-2(-1)n(n≥2), an=2an-1-(-1)n-(-1)n=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2), ∴an+(-1)n=2[an-1+(-1)n-1](n≥2). 故数列{an+(-1)n}是以a1-=为首项,公比为2的等比数列. ∴an+(-1)n=×2n-1, an=×2n-1-(-1)n=-(-1)n. 在本例条件下,若数列{bn}满足b1=a1,bn=an+an+1.证明:{bn}是等比数列. 证明:∵an=-(-1)n, ∴bn=an+an+1=-(-1)n+-(-1)n+1=2n-1. 又b1=a1=1, ∴=2, ∴数列{bn}是等比数列. [规律方法] 等比数列的判定方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.已知数列{an}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,其中λ为实数,n为正整数.对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列. 证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a=a1a3,即=λ,故λ2-4λ+9=λ2-4λ,即9=0,冲突,所以{an}不是等比数列. __等比数列的性质______________________ (1)(2021·昆明三中、玉溪一中统考)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果可化为( ) A.1- B.1- C. D. (2)(2021·山西省第三次四校联考)等比数列{an}满足an>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 (3)(2021·山西省其次次四校联考)若等比数列{an}的前n项和为Sn,且=5,则=________. [解析] (1)依题意,an=2n-1,===×,所以Tn==,故选C. (2)由等比数列的性质,得a3·a2n-3=a=22n,从而得an=2n. log2a1+log2a2+…+log2a2n-1 =log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)…(an-1an+1)an] =log22n(2n-1)=n(2n-1). (3)设数列{an}的公比为q,由已知得=1+=5,1+q2=5,所以q2=4,=1+=1+q4=1+16=17. [答案] (1)C (2)A (3)17 [规律方法] (1)在解决等比数列的有关问题时,要留意挖掘隐含条件,利用性质,特殊是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以削减运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要留意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时留意设而不求思想的运用. 3.(1)在等比数列中,已知a1aa15=243,则的值为( ) A.3 B.9 C.27 D.81 (2)(2021·长春调研)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=( ) A.11 B.12 C.14 D.16 (3)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3等于( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 解析:(1)选B.设数列{an}的公比为q, ∵a1aa15=243,a1a15=a,∴a8=3, ∴==a=9. (2)选C.设数列{an}的公比为q, 由a1a2a3=4=aq3与a4a5a6=12=aq12, 可得q9=3,an-1anan+1=aq3n-3=324, 因此q3n-6=81=34=q36, 所以n=14,故选C. (3)选C.由等比数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6), 将S6=S3代入得=. ,[同学用书P94~P95]) 方法思想——分类争辩思想在求数列前n项和中的应用 (2021·江苏常州模拟)假如有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am-1,…,am=a1,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,3,4,3,2,1与数列a,b,c,c,b,a都是“对称数列”. (1)设{bn}是8项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=1,b5=13.依次写出{bn}的每一项; (2)设{cn}是2m+1项的“对称数列”,其中cm+1,cm+2,…,c2m+1是首项为a,公比为q的等比数列,求{cn}的各项和Sn. [解] (1)设数列{bn}的公差为d,b4=b1+3d=1+3d. 又由于b4=b5=13,解得d=4, 所以数列{bn}为1,5,9,13,13,9,5,1. (2)Sn=c1+c2+…+c2m+1=2(cm+1+cm+2+…+c2m+1)-cm+1=2a(1+q+q2+…+qm)-a=2a·-a(q≠1). 而当q=1时,Sn=(2m+1)a. ∴Sn=. [名师点评] (1)本题是新定义型数列问题,在求等比数列{cn}前n项和时用到了分类争辩思想. (2)分类争辩思想在数列中应用较多,常见的分类争辩有: ①已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种状况; ②项数的奇、偶数争辩; ③等比数列的单调性的推断留意与a1,q的取值的争辩. (2022·高考山东卷)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn. 解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由题意知bn=a=n(n+1), 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1). 由于bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn) =4+8+12+…+2n==, 当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-. 所以Tn= 1.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=( ) A.4× B.4× C.4× D.4× 解析:选C.(a+1)2=(a-1)(a+4)⇒a=5,a1=4,q=,故an=4×. 2.(2021·山东淄博期末)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a,a2=2,则a1=( ) A. B. C. D.2 解析:选C.由等比数列的性质得 a3a9=a=2a, ∵q>0, ∴a6=a5,q==,a1==,故选C. 3.已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( ) A. B.- C.5 D.-5 解析:选D.由1+log3an=log3an+1(n∈N*),得an+1=3an,即数列{an}是公比为3的等比数列.设等比数列{an}的公比为q,又a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)=log[q3(a2+a4+a6)]=log(33×9)=-5. 4.(2021·四川广元质检)等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4=( ) A.-20 B.15 C. D. 解析:选C.由于an+2+an+1=6an, 所以q2+q-6=0, 即q=2或q=-3(舍去),所以a1=. 则S4==. 5.已知数列{an},则有( ) A.若a=4n,n∈N*,则{an}为等比数列 B.若an·an+2=a,n∈N*,则{an}为等比数列 C.若am·an=2m+n,m,n∈N*,则{an}为等比数列 D.若an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,则{an}为等比数列 解析:选C.若a1=-2,a2=4,a3=8,满足a=4n,n∈N*,但{an}不是等比数列,故A错;若an=0,满足an·an+2=a,n∈N*,但{an}不是等比数列,故B错;若an=0,满足an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,但{an}不是等比数列,故D错;若am·an=2m+n,m,n∈N*,则有===2,则{an}是等比数列. 6.(2021·高考北京卷)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;前n项和Sn=________. 解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则: 由a2+a4=20得a1q(1+q2)=20.① 由a3+a5=40得a1q2(1+q2)=40.② 由①②解得q=2,a1=2. 故Sn===2n+1-2. 答案:2 2n+1-2 7.(2022·高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________. 解析:由于a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 答案:50 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=1(n∈N*),则通项公式an=________. 解析:∵an+Sn=1,① ∴a1=, an-1+Sn-1=1,(n≥2)② ①-②可得an-an-1+an=0,即得=, ∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列, 则an=×=. 答案: 9.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则由已知得, ∴a1=0,d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为q,则由已知得q+q2=a4. ∵a4=6,∴q=2或q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数, ∴q=2. ∴{bn}的前n项和Tn===2n-1. 10.(2021·陕西宝鸡质检)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2), ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15, ∴an+2an-1≠0(n≥2), ∴=3(n≥2), ∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n, 则an+1=-2an+5×3n, ∴an+1-3n+1=-2(an-3n). 又∵a1-3=2,∴an-3n≠0, ∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列. ∴an-3n=2×(-2)n-1, 即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N*). 1.(2021·山东莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an==3,n∈N*,若数列{cn}满足cn=ban,则c2 015=( ) A.92 014 B.272 014 C.92 015 D.272 015 解析:选D.由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列, ∴an=3n,bn=3n. 又cn=ban=33n, ∴c2 015=33×2 015=272 015. 2.(2021·广东珠海质量监测)等比数列{an}共有奇数项,全部奇数项和S奇=255,全部偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C.设等比数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇===255,解得a1=3,故选C. 3.(2021·北京市海淀区高三上学期期末测试)数列{an}满足a1=2且对任意的m,n∈N*,都有=an,则a3=________;{an}的前n项和Sn=________. 解析:∵=an, ∴an+m=an·am, ∴a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=23=8; 令m=1, 则有an+1=an·a1=2an, ∴数列{an}是首项为a1=2,公比q=2的等比数列, ∴Sn==2n+1-2. 答案:8 2n+1-2 4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,对任意x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________. 解析:由条件得:f(n)·f(1)=f(n+1),即an+1=an·,所以数列{an}是首项与公比均为的等比数列,求和得Sn=1-,所以≤Sn<1. 答案: 5.(2021·江西南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; (2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)由于a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列, 所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5, 即2a6-3a5+a4=0, 所以2q2-3q+1=0, 由于q≠1, 所以q=, 所以等比数列{an}的通项公式为an=. (2)bn=·3n =, Tn=× =. 6.(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (1)求an与bn; (2)设cn=3bn-λ·2,若数列{cn}是递增数列,求λ的取值范围. 解:(1)由已知可得 所以q2+q-12=0, 解得q=3或q=-4(舍去),从而a2=6, 所以an=3n,bn=3n-1. (2)由(1)知,cn=3bn-λ·2=3n-λ·2n. 由题意,cn+1>cn任意的n∈N*恒成立, 即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立, 亦即λ·2n<2·3n恒成立,即λ<2·恒成立. 由于函数y=是增函数, 所以=2×=3, 故λ<3,即λ的取值范围为(-∞,3).- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考导航 高考 导航 2022 新课 数学 一轮 复习 讲义 第五 等比数列 及其
咨信网温馨提示:
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【人****来】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【人****来】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【人****来】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【人****来】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
关于本文
本文标题:《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第3讲-等比数列及其前n项和.docx
链接地址:https://www.zixin.com.cn/doc/3841490.html
链接地址:https://www.zixin.com.cn/doc/3841490.html