【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练21(第三章).docx

双基限时练(二十一)
1．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(　　)
A．12 B．1π
C．21 D．2π
解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π()2·x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝(x－2)(x－6)，当x＝2时，V最大．
此时底面周长为4，底面周长高＝42＝21.
答案　C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)
A．150 B．200
C．250 D．300
解析　∵总利润P(x)＝

由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案　D
3．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长为(　　)
A. B.
C. D．2
解析　设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，
∴S表＝2S底＋S侧＝x2·sin60°＋3·x·l
＝x2＋，
S′表＝x－＝0，
∴x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，y′<0；
当x∈(，V)时，y′>0，
∴当x＝时，表面积最小．
答案　C
4．某城市在进展过程中，交通状况渐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一段路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
解析　令y′＝－t2－t＋36＝0，即3t2＋12t－36×8＝0，解得t＝8或t＝－12(舍去)．
当0<t<8时，y′>0；
当t>8时，y′<0.
所以当t＝8时，函数有极大值，也是最大值．
答案　C
5．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
解析　设水箱的高为x cm(0<x<60)，则水箱底面边长为(120－2x)cm，水箱的容积V＝(120－2x)2·x＝(1202－480x＋4x2)·x，
∴V′＝12x2－960x＋120×120，解V′＝0，得x＝20或x＝60(舍去)．
当0<x<20时，V′>0；当20<x<60时，V′<0；
∴当x＝20时，V有最大值，且最大值为128 000 cm3.
答案　B
6．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．假如铁丝网长40 m，那么围成的场地面积最大为________．
解析　设靠墙的一面长x m，围成的场地面积为y m2，
此时矩形的宽为>0.
∴y＝x·＝－x2＋20x.(0<x<40)
y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，
当0<x<20时，y′>0；
当20<x<40时，y′<0.
∴x＝20时，y最大＝20×10＝200.
答案　200 m2
7．某银行预备新设一种定期存款业务，经猜测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸取的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0. 048))，则存款利率为________时，银行可获得最大收益．
解析　由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．
设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.
于是y′＝0.048k－2kx.
令y′＝0，得x＝0.024.
依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．
答案　0.024
8．某工厂要建筑一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，假如箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2造价为12元，则箱子的最低总造价为________．
解析　设箱底一边的长度为x m，总造价为y元，依据题意，得y＝12×3＋15×16，则y′＝72.
令y′＝0，得x＝4或x＝－4(舍去)，易知当x＝4时，总造价最低，最低价为816元．
答案　816元

9．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD中，A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析　设CD＝x，则点C，B，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·＝－x3＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x＝时，f(x)有最大值.
答案　
10．某种圆柱形的饮料罐的容积肯定时，如何确定它的高与底面半径，才使得所用材料最省？
解　设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2，
又V＝πR2h，则h＝，
∴S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，
由S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得R＝ ，从而h＝＝2 ，即h＝2R，
当R< 时，S′(R)<0；当R> 时，S′(R)>0.
因此，当R＝ 时，S(R)有微小值，且是S(R)的最小值．
答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．
11．某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地形AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．
(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？
(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽视不计)

解　(1)依题意三角形NDC与三角形NAM相像，
∴＝，即＝，AD＝20－x，
矩形ABCD的面积为S＝20x－x2，
定义域为0<x<30，
要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，
即20x－x2≥144，
化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，
∴AB长度应在内．
(2)仓库体积为V＝20x2－x3(0<x<30)
V′＝40x－2x2＝0，得x＝0，或x＝20，
当0<x<20时V′>0；当20<x<30时V′<0，
∴x＝20时V取最大值米3,
即AB长度为20米时仓库的库容量最大．
12．某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低销售量可以增加，且售价降低x(0≤x≤8)元时，每天多卖出的件数与x2＋x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．
(1)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；
(2)该商品售价为多少元时，一天的销售利润最大？
解　(1)由题意，可设每天多卖出的件数为k(x2＋x)，则36＝k(32＋3)，解得k＝3.
又每件商品的利润为(20－12－x)元，每天卖出的商品件数为48＋3(x2＋x)，
∴该商品一天的销售利润为
f(x)＝(8－x)
＝－3x3＋21x2－24x＋384(0≤x≤8)．
(2)f′(x)＝－9x2＋42x－24＝－3(x－4)(3x－2)．
令f′(x)＝0，可得x＝或x＝4.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状况如下表：
x
0

4
(4,8)
8
f′(x)

－
0
＋
0
－

f(x)
384
↘
微小值

极大值
↘
0
∴当x＝4时，f(x)有极大值432，也是最大值．
故当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元．