【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第5章-第3节-平面向量的数量积.docx

第五章　第三节

一、选择题
1．(2021·湖北理，6)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．－　 D．－
[答案]　A
[解析]　∵＝(2,1)，＝(5,5)，
∴·＝2×5＋1×5＝15，||＝5，所求投影为||cos<，>＝＝＝，故选A．
2．(文)(2022·大连测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则|a＋b|为(　　)
A．9　 B．7
C．3　 D．
[答案]　D
[解析]　依题意得|a＋b|＝
＝＝＝，选D．
(理)(2021·山东师大附中模拟)平面对量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝(　　)
A．9　 B．
C．3　 D．7
[答案]　B
[解析]　|a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×＝1，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4＋1＋2＝7，
所以|a＋b|＝，选B．
3．(2021·北京四中期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC确定是(　　)
A．等边三角形　 B．等腰直角三角形
C．直角三角形　 D．斜三角形
[答案]　C
[解析]　由(＋)·(－)＝0得·＝0，即BC⊥AC，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形，选C．
4．(文)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，若存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则实数λ，μ的关系为(　　)
A．λ2＋μ2＝1　 B．＋＝1
C．λ·μ＝1　 D．λ＋μ＝1
[答案]　A
[解析]　由＝λ＋μ得||2＝(λ＋μ)2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.由于·＝0，所以λ2＋μ2＝1，所以选A．
(理)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·等于(　　)
A．0　 　 　 B．　　
C．　　 D．－
[答案]　A
[解析]　∵A、B、C是⊙O上三点，∴||＝||＝||＝r　(r>0)，
∵＋＝，∴·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，故选A．
5．(2022·保定模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　)
A．　 B．
C．2　 D．3
[答案]　D
[解析]　设BC＝x(x>0)，∵·＝1，
∴3x·cosC＝1，又cosC＝，
∴3x·＝1，∴x＝3.
6．(2022·河北石家庄调研)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　在△ABC中，延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，且AG＝AD．
∵·＝||||cos120°＝－2，∴||||＝4.
∵＝，2＝＋，
∴＝(＋)．
∴2＝[(＋)]2
＝(2＋2·＋2)
≥[2||||＋2×(－2)]＝，
∴2≥，∴||≥，
∴||的最小值是.
二、填空题
7．(文)(2021·山东潍坊联考)向量a，b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a，b的夹角等于________．
[答案]　120°
[解析]　由(a－b)·(2a＋b)＝－4得，
2|a|2－a·b－|b|2＝－4，即a·b＝－4，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以〈a，b〉＝120°.
(理)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
[答案]　
[解析]　(a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角为.
8．如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

[答案]　18
[解析]　过C作BD的平行线，与AP的延长线交于Q点，则AQ＝2AP＝6，则·＝||·||cos〈，〉＝||||＝3×6＝18.

9．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.
[答案]　m∈R且m≠　
[解析]　(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.即实数m≠，满足条件．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.
三、解答题
10．(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若sinA＋sinC的取值范围．
[解析]　(1)由m∥n知＝，
即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知，
cosB＝，得B＝.
(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋)
＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA
＝sin(A＋)，
∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈(0，)，
∴A＋∈(，)，∴sin(A＋)∈(，1]，
∴sinA＋sinC的取值范围为(，]．
(理)(2021·浙江重点中学联谊学校期中)已知a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且θ∈[0，]．
(1)求的最值；
(2)是否存在k的值使|ka＋b|＝|a－kb|?
[解析]　(1)由已知得
a·b＝coscos－sinsin＝cos2θ，
∵θ∈[0，]，
∴|a＋b|＝＝＝2cosθ，
∴＝＝cosθ－，
令cosθ＝t，t∈[，1]，
∴cosθ－＝t－，(t－)′＝1＋>0，
∴y＝t－为增函数，其最大值为，最小值为－，
∴的最大值为，最小值为－.
(2)假设存在k的值满足题设条件，则|ka＋b|2＝3|a－kb|2.
∵|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，
∴cos2θ＝，
∵θ∈[0，]，∴－≤cos2θ≤1，
∴－≤≤1，
∴2－≤k≤2＋或k＝－1.

一、选择题
11．(文)(2022·沈阳市二检)已知▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则的坐标为(　　)
A．(－，－6)　 B．(－，6)
C．(，－6)　 D． (，6)
[答案]　B
[解析]　＝(＋)＝(－，6)，故选B．
(理)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．最大值为8　 B．最小值为2
C．是定值6　 D．与P的位置有关
[答案]　C
[解析]　以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，
设P(x,0)，－1≤x≤1，则＝(x，－)，
∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C．

12．(文)△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A．a－b　 B．a－b
C．a－b　 D．a－b
[答案]　D
[解析]　∵a·b＝0，
∴∠ACB＝90°，
又|a|＝1，|b|＝2，
∴AB＝，∴CD＝，
∴BD＝，AD＝.
即AD∶BD＝4∶1.
∴＝＝(－)＝(a－b)．故选D．
本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D的位置．
(理)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6　　　 B．5　　　
C．4　　　 D．3
[答案]　D
[解析]　∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴100＝AB2＋AC2＋32，∴AB2＋AC2＝68.2＝＋，∴4||2＝|＋|2＝2＋2＋2·＝68－32＝36，
∴||＝3.
13．(2022·甘肃省三诊)已知O是坐标原点，点A(－2,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0]　 B．[－1,2]
C．[0,1]　 D．[0,2]
[答案]　B
[解析]　·＝－2x＋y，画出不等式组，表示的平面区域如图所示．
当点M的坐标为(1,1)时，·取最小值－1，当点M的坐标为(0,2)时，·＝2，故选B．

14．(2022·郑州市质检)如图所示，点A、B、C是圆O上的点，线段OC与线段AB交于圆内一点P, 若＝m＋2m，＝λ，则λ＝(　　)

A．　 B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　∵＝－，＝－，又＝λ，
∴－＝λ－λ，
∴＝(1－λ)＋λ，∴1－λ＋λ＝1，设＝k，∵＝m＋2m，∴＝＋，∴＋＝1，∴k＝3m，∴＝＋，∴λ＝.
二、填空题
15．(2022·石家庄市质检)若向量a，b是两个相互垂直的单位向量，则向量a－b在向量b方向上的投影为________．
[答案]　－
[解析]　设a－b与b的夹角为θ，
∴cosθ＝，
∴a－b在b方向上的投影为
|a－b|cosθ＝＝＝－.
16．(2022·海南六校联考)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·＝________.
[答案]　－4
[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，

设F(x，)，∵＝(3,0)，＝(x，)，
∴·＝3x＝3，∴x＝1，
又∵＝2，∴E(3，)，
∴＝(3，)，＝(－2，)，
∴·＝－6＋2＝－4.
三、解答题
17．(文)已知向量m＝(2，－1)，n＝(sin，cos(B＋C))，A、B、C为△ABC的内角，其所对的边分别为a、b、c.
(1)当m·n取得最大值时，求角A的大小；
(2)在(1)的条件下，当a＝时，求b2＋c2的取值范围．
[解析]　(1)m·n＝2sin－cos(B＋C)＝－2sin2＋2sin＋1＝－2(sin－)2＋，
∵0<A<π，∴0<<，∴当sin＝，
即A＝时，m·n取得最大值．
(2)由＝＝＝＝2得，b＝2sinB，c＝2sinC，
∵C＝π－A－B＝－B，
∴b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C＝4＋2sin(2B－)，
∵0<B<，∴－<2B－<，
∴－<sin(2B－)≤1，∴3<b2＋c2≤6，
∴b2＋c2的取值范围为(3,6]．
(理)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
[解析]　(1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.
(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β
＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，
∴|b＋c|的最大值为4.
(3)证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ，
即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.
18．(2022·福建泉州质检)已知向量a＝(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.
(1)求向量b；
(2)若t＝(1,0)且b⊥t，c＝(cosA,2cos2)，其中A，C是△ABC的内角，若三角形ABC的三内角A，B，C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．
[解析]　(1)设b＝(x，y)，则2x＋2y＝－2，①
且|b|＝＝1，∴＝1②
由①②解得或所以b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．
(2)由于A，B，C依次成等差数列，所以B＝.
由于b⊥t，且t＝(1,0)，所以b＝(0，－1)．
所以b＋c＝(cosA,2cos2－1)＝(cosA，cosC)，
所以|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋(cos2A＋cos2C)
＝1＋cos(A＋C)cos(A－C)＝1－cos(A－C)．
由于－<A－C<，所以－<cos(A－C)≤1，
∴<|b＋c|2<，所以≤|b＋c|<.