【同步辅导】2021高中数学北师大版必修二导学案：《直线的方程(一)》.docx

第2课时　直线的方程(一)

1.把握直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程,归纳方程特点及其适用范围并能简洁应用.
2.能发觉斜截式方程与一次函数间的联系与区分.

“我想知道流星能飞多久,它的秀丽是否值得去寻求,夜空的花散落在你身后,幸福了我很久,值得我去等待,于是……我许了个愿保佑,在最美的时候,我许的愿……”飞逝的流星形成一条秀丽的弧线,这条弧线可以近似看作是什么图形呢?若在平面直角坐标系中,能否确定它的位置呢?

问题1:(1)图片中飞逝的流星划出一条秀丽的弧线,这条弧线可以近似看作　　. 
(2)经过点P0(x0,y0)的直线l有很多条,可分为两类:
(i)斜率存在,设斜率为k,则直线方程为　y-y0=k(x-x0)　,这个方程是由直线上　点P0(x0,y0)　及其　斜率k 　确定的,所以叫作直线的　点斜式　方程. 
(ii)斜率不存在,则直线方程为　x=x0　. 
问题2:(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线的点斜式方程,得　y=kx+b　,我们称b为直线l在y轴上的　截距　. 
这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的　 截距　确定的,所以叫作直线的　斜截式　方程. 
(2)直线的斜截式方程
①截距:　b　. 
②一般形式:　y=kx+b　. 
③适用条件:　斜率存在　. 
留意:当直线和x轴垂直时,斜率不存在,此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.
问题3:已知两点坐标为P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则通过这两点的直线方程为.与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程.
问题4:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

1.已知直线方程y-3=3(x-4),则这条直线经过的定点,倾斜角分别是(　　).
A.(4,3),60°　　　 B.(-3,-4),30° C.(4,3),30° D.(-4,-3),60°
2.直线方程可表示成点斜式方程的条件是(　　).
A.直线不过原点 B.直线的斜率不存在
　　C.直线的斜率存在 D.不同于上述答案
3.经过点(-2,2)且倾斜角是30°的直线的点斜式方程是　　　　. 
4.写出斜率为-2,且在y轴上的截距为t的直线的方程,当t为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.

直线方程形式的选择
依据条件写出下列直线的方程:
(1)斜率为3,经过点(5,-4);
(2)斜率为-2,经过点(0,2);
(3)经过点(2,1)和(3,-4);
(4)经过点(4,2),倾斜角为90°.

直线的两点式方程
已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).
(1)求BC边所在的直线方程;
(2)求BC边上的中线AM所在的直线方程.

“截距”与“距离”的关系
求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

求满足下列条件的直线方程:
(1)斜率为2,经过点(2,0);
(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°;
(3)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(4)直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且直线l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.

一条光线从点A(3,2)动身,经过x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.

求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.

1.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34,则直线l的方程为(　　).
A.3x+4y-14=0　　　 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0
2.已知直线的方程为y+2=-x-1,则(　　).
A.直线过点(-1,2),斜率为-1 B.直线过点(-1,2),斜率为1　
C.直线过点(-1,-2),斜率为-1 D.直线过点(-1,-2),斜率为1
3.直线l过(-1,-1)、(2,5)两点,且点(1006,b)在l上,则b=　　　　. 
4.求过点A(1,3),斜率为直线y=-4x的斜率的13的直线方程.

(2010年·安徽卷)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(　　).
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
　　考题变式(我来改编):

第2课时　直线的方程(一)

学问体系梳理
问题1:(1)直线　(2)(i)y-y0=k(x-x0)　点P0(x0,y0)　斜率k　点斜式　(ii)x=x0
问题2:(1)y=kx+b　截距　 截距　斜截式　(2)①b　②y=kx+b　斜率存在
问题3:y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
问题4:x=x1+x22,y=y1+y22
基础学习沟通
1.A　由直线的点斜式方程可知,k=tan α=3,∴α=60°,直线过定点(4,3).
2.C
3.y-2=33(x+2)
4.

解:(1)由直线方程的斜截式,可得方程为y=-2x+t.
(2)将点(4,-3)代入方程y=-2x+t,得-3=-2×4+t,
解得t=5,故当t=5时,直线通过点(4,-3).
直线y=-2x+5图象如右图所示.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵k=3,经过点(5,-4),
∴由点斜式方程得y-(-4)=3(x-5),
即y+4=3(x-5).
(2)∵k=-2,b=2,
∴由斜截式方程得y=-2x+2.
(3)∵直线过点(2,1)和(3,-4),
∴直线方程为y-1-4-1=x-23-2.
整理得y=-5x+14.
(4)由题意可知,直线垂直于x轴,∴直线方程为x=4.
【小结】在求直线的点斜式方程时,要推断直线的斜率是否存在,若存在,要求出其斜率,再将条件中所给的点代入点斜式方程即可.假如已知纵截距,那么可直接利用直线的斜截式方程求解.
　　探究二:【解析】(1)直线BC过点B(3,-3),C(0,2),由两点式得y+32+3=x-30-3,整理得5x+3y-6=0,所以BC所在的直线方程为5x+3y-6=0.
(2)由于B(3,-3),C(0,2),所以由中点坐标公式可得BC边上中点M的坐标为x=3+02=32,y=-3+22=-12.由两点式方程可得直线AM的方程为y-0-12-0=x-(-5)32-(-5),整理得直线AM的方程为x+13y+5=0.
【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观看横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解.由于两点式方程比较简单,所以在利用两点式方程时肯定要细心.此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程.
　　探究三:【解析】直线两坐标轴上的截距相等,则斜率k的值为±1.
若k=1,则直线方程为y-3=x-2,即x-y+1=0;
若k=-1,则直线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
∴所求直线方程为x-y+1=0或x+y-5=0.
[问题]当k=1时,直线在两坐标轴上的截距相等吗?
[结论]截距是直线与y轴(或x轴)交点的纵坐标(横坐标),它不是距离,是有向线段的数量,可正、可负、也可为0,错解中方程x-y+1=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,1,截距当然不相等,属于概念性错误.
于是,正确解答如下:
当截距不为0时,则k=-1,直线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
当截距为0 时,则k=32,直线方程为y=32x.
故满足题意的直线方程为y=32x或x+y-5=0.
【小结】求直线在坐标轴上截距的方法:令x=0,所得y值是y轴上的截距;令y=0,所得x值是x轴上的截距.留意理解“截距”与“距离”的区分.
思维拓展应用
应用一:(1)由直线的点斜式方程,得y=2(x-2),
∴所求直线方程为2x-y-4=0.
(2)由题意得k=tan 45°=1,∴所求直线方程为y-3=x-2,即x-y-1=0.
(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为y=2x+5.
(4)∵直线l1的斜率为2,在y轴上截距为6,
∴直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6,
∴直线l的方程为y=-2x+6.
　　应用二:由于点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,-2),所以由两点式可得直线A'B的方程为y-6-2-6=x+13+1,即2x+y-4=0.同理,点B关于x轴的对称点为B'(-1,-6),由两点式可得直线AB'的方程为y-2-6-2=x-3-1-3,即2x-y-4=0,所以入射光线所在的直线方程为2x-y-4=0,反射光线所在的直线方程为2x+y-4=0.
　　应用三:由题意可知直线的斜率存在且不等于零,可设直线方程为y-2=k(x+5).
令x=0,则y=5k+2;
令y=0则x=-5-2k.
∴-5-2k=2(5k+2),
解得k=-12或k=-25,
∴直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
基础智能检测
1.A　由y-5=-34(x+2),得3x+4y-14=0.
2.C　直线方程可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线过点(-1,-2),斜率为-1.
3.2021　直线l的方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),
整理得:y=2x+1,
令x=1006,得b=2021.
4.解:设所求直线的斜率为k,依题意有
k=-4×13=-43.
又直线经过点A(1,3),
因此所求直线方程为y-3=-43(x-1),
即4x+3y-13=0.

全新视角拓展
A　由题意可知,所求直线的斜率k=12,又经过点(1,0),∴所求直线方程为y=12(x-1),
即x-2y-1=0.
思维导图构建
　　y-y0=k(x-x0)