高中数学(北师大版)选修2-3教案：第3章-拓展资料：两种回归方程的求解策略.docx

两种回归方程的求解策略
精确     确定回归直线方程，有利与进一步加强数学应用意识，培育运用所学学问解决实际问题的力气，正确的求出回归直线方程也是本节的重点。
一、线性回归方程的确定策略
线性回归方程的确定主要策略有：通过散点图来描述出变量间的图形；或利用样本相关关系数r来推断两个变量之间是否具有线性相关关系时，可以依据|r|>0.75时，我们认为有很强的线性相关关系，可以求回归直线方程。
例1、10名同学在高一和高二的数学成果如下表：
x
74
71
72
68
76
73
67
70
65
74
Y
76
75
71
70
76
79
65
77
62
72
其中x为高一数学成果，y为高二数学成果。
（1）y与x是否具有相关关系；
（2）假如y与x是相关关系，求回归直线方程。
解（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得
，，，，。
，.
r=
由于，由0.780 297>0.75，知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系。
（2）y与x具有线性相关关系，设回归直线方程＝a＋bx，则
，
＝72.3－1.22×71＝－14.32，
所以y关于x的回归直线方程为＝1.22x－14.32.
二、非线性回归方程的确定策略
两变量之间不光有线性回归关系，还有非线性回归关系，非线性回归问题有时并不给出阅历公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图象作比较，选择一种跟这些散点拟合的最好的函数，然后，接受适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决，残差分析是对回归方程有效性进行检测，是回归思想的主要内容。
例2：如下表所示，某地区一段时间内观看到的大于或等于某震级x的地震个数为N，试建立回归方程表述二者之间的关系。
震级x
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
地震数N
28381
20380
14795
10695
7641
5502
3842
2698
1919
1356
973
震级x
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7

地震数N
746
606
435
274
206
148
98
57
41
25

解：由表中数据得散点图如下：

从散点图中可以看出，震级x与大于该震级的地震次数N之间不呈线性相关关系，随着x的削减，所考查的地震数N近似地以指数形式增长，做变换 得到的数据如下表所示.
x
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
y
4.453
4.309
4.170
4.029
3.883
3.741
3.585
3.431
3.283
3.132
2.988
x
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7

y
2.873
2.781
2.638
2.438
2.314
2.170
1.991
1.756
1.613
1.398

x和y的散点图如下：

从这个散点图中可以看出x和y之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型拟和它们之间的关系。依据截距和斜率的最小二乘计算公式，得
， 故线性回归方程为
相关指数，说明x可以解释y的99.7％的变化。因此，可以用回归方程描述x和N之间的关系。