2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业:3.8-应用举例-.docx
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1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)应 用 举 例 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不愿定能确定A,B间距离的是()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b【解析】选A.选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.选项A中利用正弦定理求时可能会有两解,故选A.2.已知ABC的外接圆的半径为2,设其三边长为a,b,c,若abc=16,则三角形的面积为
2、()A.1B.2C.2D.4【解题提示】依据正弦定理用上外接圆的半径,由此选择三角形的面积公式求解.【解析】选B.由正弦定理,得=22=4,即sin A=,由于abc=16,所以S=bcsin A= =2.3.某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75的斜坡,改造成倾斜角为30的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长()A.100 mB.100 mC.50(+)mD.200 m【解析】选A.设坡底需加长x m,由正弦定理得,解得x=100.4.(2021厦门模拟)在ABC中,若b=2,A=120,三角形的面积S=3,则三角形外接圆的半径为()A.3B.2C.23D.4【解析】选B.ABC中,由于b
3、=2,A=120,三角形的面积S=3=12bcsinA=c32,所以c=2=b,故B=12(180-A)=30.再由正弦定理可得bsinB=2R=2sin30=4,所以三角形外接圆的半径R=2.5.(2021阜阳模拟)如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()A.(30+303)mB.(30+153)mC.(15+303)mD.(15+153)m【解题提示】先在ABP中求PB或PA,再解直角三角形即可.【解析】选A.在PAB中,PAB=30,APB=15,AB=60,sin15=s
4、in(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=2232-2212=6-24,由正弦定理,得PBsin30=ABsin15,所以PB=12606-24=30(6+2),所以建筑物的高度为PBsin45=30(6+2)22=(30+303)m.【一题多解】解答本题,还可使用以下方法:选A.设建筑物的底部为C,建筑物高PC=x,在RtPCB中,PBC=45,所以BC=PC=x,在RtPCA中,PAC=30,所以tan30=PCCA,即CA=3x,由图知3x-x=60,解得x=30(3+1)(m).【加固训练】如图所示,D,C,B三点在地面的同始终线上,DC=a,从C,D两点测得A点
5、的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB等于()A.12aB.3a2C.3aD.33a【解析】选B.由于DAC=ACB-D=60-30=30,所以AC=CD=a,在RtABC中,AB=ACsin60=32a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在ABCD中,AB=6,AD=3,BAD=60,则ABCD的面积为.【解析】ABCD的面积S=2SABD=ABADsinBAD=63sin 60=9.答案:97.(2021宜宾模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40 m,则电视塔的高度为m.
6、【解析】设电视塔AB高为x m,则在RtABC中,由ACB=45,得BC=x.在RtADB中,ADB=30,所以BD=x.在BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 120,即(x)2=x2+402-2x40cos 120,解得x=40,所以电视塔高为40 m.答案:408.(2021临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,马上测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇马上以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.【解题提示】首先依据题
7、意画出图形,再依据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.【解析】如图,设舰艇在B处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB=21t,CB=9t.在ABC中,依据余弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,可得,212t2=102+81t2+2109t.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=- (舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.答案: 【加固训练】一船向正北航行,观看正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,连续航行半小时后,观看一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是每小时.【解析】如图,依题意有BAC=6
8、0,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是=10(海里/小时).答案:10海里三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022新课标全国卷)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD.(2)求四边形ABCD的面积.【解题提示】(1)设出BD的长,利用余弦定理求解.(2)利用S四边形ABCD=SABD+SBCD求解.【解析】(1)设BD=x,在ABD,BCD中,由余弦定理,得cos A=,cos C=.由于A+C=,所以cos A+cos C=0,联立上式解得x=,cos C
9、=,所以C=,BD=.(2)由于A+C=,C=,所以sin A=sin C=,四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=ABADsin A+CBCDsin C=(1+3)=2.所以四边形ABCD面积为2.10.(2021济南模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cosA2=255,ABAC=3.(1)求ABC的面积.(2)若c=1,求a,sinB的值.【解析】(1)cosA=22552-1=35,而ABAC=|AB|AC|cosA=35bc=3,bc=5,又A(0,),sinA=45,所以S=12bcsinA=12545=2.(2)由于bc=5,又c=1,所以b=5,
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