重庆版2022届高三上学期第一次月考-数学理-Word版含答案.docx

第一次月考数学理试题【重庆版】

数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．
留意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2.答选择题时，必需使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其他答案标号．
3.答非选择题时，必需使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4.全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数满足, 则=( )
A. 　 　B. 　 　C. 　　 D.

2. 设, , , 则（ ）
A. B. C. D.

3. 函数() 的值域是（ ）
A. B. C. D.

4. 把的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.

5. 函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
6．若定义在实数集上的偶函数满足, , 对任意恒成立, 则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

7. 若某程序框图如右图所示, 当输入50时, 则该程序运算后输出的结果是( )

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

8. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开头输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽视不计), 设输液开头后分钟, 瓶内液面与进气管的距离为厘米, 已知当时, . 假如瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数的图像为（ ）

A. B.

C. D.

9. 函数, 若关于的方程有五个不同的实数解, 则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

10. 若定义域在的函数满足：
① 对于任意，当时，都有;
②;
③;
④,
则（ ）
A. B． C． D．
二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11. 设全集U是实数集, , , 则＝____.

12. 已知函数, 则的值为__________.
13. 若函数(为常数)在区间上是减函数, 则的取值范围是______.

考生留意：14, 15, 16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14. 如图, 为外一点, 过点作的两条切线, 切点分别为, , 过的中点作割线交于, 两点, 若, , 则 ______．

15. 在直角坐标平面内, 以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点的极坐标为, 曲线的参数方程为(为参数), 则点到曲线上的点的距离的最小值为 ．

16. 若关于的不等式在实数集上的解集为, 则的取值范围为_______.

三. 解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

17. (本小题满分13分) 已知 实数满足, 其中;
实数满足.
(1) 若 且为真, 求实数的取值范围;
(2) 若是的必要不充分条件, 求实数的取值范围.

18. (本小题满分13分) 函数(且)是定义在实数集上的奇函数．
(1) 若, 试求不等式的解集；
(2) 若且在上的最小值为, 求的值．
19. (本小题满分13分) 如下图1, 在中, , , . , 分别是, 上的点, 且//, 将沿折起到的位置, 使(如下图2).
(1) 求证: 平面;
(2) 若, 求与平面所成角的正弦值.

图1 图2

20. (本小题满分12分) 已知函数().
(1) 若曲线在点处的切线与轴平行, 求的单调区间和极值;
(2) 争辩在上的单调性;
(3) 若在上是单调函数, 求的取值范围.

21. (本小题满分12分) 以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为, 且过点．
(1) 求椭圆及其“伴随”的方程;
(2) 过点作“伴随”的切线交椭圆于, 两点, 记为坐标原点)的面积为, 将表示为的函数, 并求的最大值.

22．（本小题满分12分）已知定义在上的函数, 其中表示不小于的最小整数,如, , .
(1) 求的值, 其中为圆周率;
(2) 若在区间上存在, 使得成立, 求实数的取值范围;
(3) 求函数的值域.
参考答案

一. 选择题
1. A 2. A 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. A 10. B
二. 填空题
11. {x|1＜x≤2} 12. 13.
14. 4 15. 16.
三. 解答题
17．解：（1）对：由得，
由于, 所以 ..……...……..2分
当时，解得1<,即为真时，实数的取值范围是1<.
又为真时实数的取值范围是…………………..4分
若为真，则真且真，
所以实数的取值范围是. …………………..7分
(2) p是q的必要不充分条件，即qp,且pq，
设A=, B =, 则AB, …………………..10分
又，A=；
所以有解得
所以实数的取值范围是. …………………..13分

18．解：（1）是定义在R上的奇函数，
………………….2分
，又且 …………4分
易知在R上单调递增，原不等式化为：
，即

不等式的解集为. …………………..7分
（2），即（舍去）
……9分
令

当时，当时，
当时，当时，，…………………..12分
解得，舍去.
综上可知． ………………….13分

19. 解：(1) 证明： 在△中，

………………2分
又
.
由
……………...4分

. ……………...7分
(2) 如图, 以为原点，, , 分别为轴, 轴, 轴, 建立空间直角坐标系. 由于, 所以,
又//, 所以, 所以.
则. .
设为平面的一个法向量， ………..8分
由于
所以, 即，令，得.
所以为平面的一个法向量． ………..11分
设与平面所成角为,
则．
所以与平面所成角的正弦值为． …………13分

20. 解：(1) ，有
得，故. ……………….……….………..2分
令得，故在
令得，故在
故的增区间为，减区间为，
, 无微小值. .…...4分
(2)
①当时，，故在
②当时，令得，
令得
所以在，在在
综上: 当时, 在
当时, 在，在在………..8分
(3)由题意可知：在上是单调函数

　　当时，在上恒大于零，即，符合要求；
当时，令，则由题意可知
　　或，解得: .
　　∴的取值范围是 ……………..12分
21. 解: (1) 椭圆的离心率为, 则,
设椭圆的方程为 ……………2分
∵椭圆过点，∴，
∴， …………….………..4分
∴椭圆的标准方程为，
椭圆的“伴随”方程为. ………..6分
(2) 由题意知，.
易知切线的斜率存在,设切线的方程为
由得 ………..8分
设, 两点的坐标分别为, , 则
, .
又由与圆相切, 所以, .
所以
……10分
, .
(当且仅当时取等号)
所以当时，的最大值为1. ………..12分

22. 解: (1) 由于, , 所以 …..3分
(2) 由于, 所以, . …. …. …. ….…..4分
则.
求导得, 当时,明显有,
所以在区间上递增,
即可得在区间上的值域为, …. …. …. ….….6分
在区间上存在, 使得成立,所以. …. ….…..7分
(3) 由于恒成立, 且, 不妨设.
易知, 下面争辩的状况. …. ….…..8分
当时, , . 所以,
当, , 时, , .

设, 所以在上是增函数,
故当时，，,
因此的值域为 …. ….…..10分
记, .

当时, , 即

当时, , 即
而,
所以.
故的值域为

…. ….…..12分