【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：定积分与微积分基本定理.docx

2021届高三数学（理）提升演练：定积分与微积分基本定理

一、选择题
1．(ex＋2x)dx等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．e－1
C．e D．e＋1
2．自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为(　　)
A.g B．g
C.g D．2g
3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝(　　)
A．±1 B.
C．± D．2
4．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于(　　)
A. B.
C. D.
5．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B．1
C. D.
6．若(x2－)9(a∈R)开放式中x9的系数是－，则sin xdx等于(　　)
A．1－cos 2 B．2－cos 1
C．cos 2－1 D．1＋cos 2
二、填空题
7．已知a∈[0，]，则当(cos x－sin x)dx取最大值时，a＝________.
8．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．
9.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，现在D内随机取一点，则该点在E中的概率为________．
三、解答题
10．计算以下定积分．
(1)(2x2－)dx；
(2) (sin x－sin 2x)dx；
(3)|3－2x|dx.

11．设f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(1)＝2，
f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．

12．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．

详解答案

一、选择题
1．解析：∵被积函数ex＋2x的原函数为ex＋x2，
(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－(e0＋0)＝e.
答案：C
2．解析：距离S＝gtdt＝gt2＝g.
答案： C
3．解析：f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝(x3＋bx)＝9a＋3b＝3f(x0)．
∴f(x0)＝3a＋b＝ax＋b，∴x＝3，∴x0＝±.
答案：C
4．解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是f(－x)dx＝(x2－x)dx＝(x3－x2)＝.
答案：A
5．解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdx＝
sin x＝－(－)＝.
答案：D
6．解析：由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r
＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3，
所以－C＝－，解得a＝2，
所以sin xdx＝(－cos x)＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.
答案：A
二、填空题
7．解析：(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)＝
sin a＋cos a－1
＝sin(a＋)－1，
∵a∈[0，]，∴当a＝时，cos(a＋)－1取最大值．
答案：
8．解析：f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3＋lnx＝＋ln e＝.
答案：
9. 解析：由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为S阴＝2x2dx＝x3＝，
又S正＝42＝16，所以由几何概型可得该点在E中的概率为P＝＝＝.
答案：
三、解答题
10．解：(1)∵y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－lnx，
∴(2x2－)dx＝(x3－lnx)＝(×23－ln2)－(×13－ln1)＝－ln2－＝－ln2.
(2)∵函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数是y＝－cos x＋cos 2x，
∴ (sin x－sin 2x)dx＝(cos 2x－cos x)
＝(cos－cos)－(cos 0－cos 0)
＝[×(－)－]－(－1)
＝－－＋＝－.
(3)∵y＝|3－2x|＝
∴|3－2x|dx＝|3－2x|dx＋|3－2x|dx
＝ (3－2x)dx＋ (2x－3)dx
＝(3x－x2) ＋(x2－3x) ＝[3×－]－(3×
1－12)＋(22－3×2)－[()2－3×]＝－－2＋(－2)－＋＝.
11．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
其图象过点(1,0)，
∴a＋b＋c＝0，①
f′(x)＝2ax＋b而f′(1)＝2，
∴2a＋b＝2.②
由f(x)dx＝0，
∴(ax2＋bx＋c)dx
＝x3＋x2＋cx|
＝＋＋c＝0.③
由①、②、③联立方程组，解得
∴f(x)＝3x2－4x＋1.
12．解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，
则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，
即(kx2－x3)＝(x3－kx2).
解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)，
解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．