2020-2021学年人教A版高中数学选修1-1:第三章-导数及其应用-单元同步测试.docx
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第三章测试题 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.5米/秒 C.6米/秒 D.4米/秒 答案 B 2.若二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线,则y=f(x)的图象顶点在( ) A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 设f(x)=ax2+bx=a(x2+x)=a(x+)2-,顶点(-,-),f′(x)=2ax+b过第一、二、三象限的一条直线,∴b>0,a>0,∴-<0,-<0,∴顶点在第三象限. 答案 C 3.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析 y′=3x2-2,∴y′|x=1=3×12-2=1, ∴倾斜角为45°. 答案 B 4.已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于( ) A.- B. C.- D.-或- 解析 f(x)=-(x+1)2+4. f(x)的开口向下,对称轴为x=-1, 当x=-1,f(-1)=4>,∴a>-1. ∴f(x)在[a,2]是减函数. ∴f(a)=,解得a=-,或a=-(舍去). 答案 C 5.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则这样的切线( ) A.有1条 B.有2条 C.多于2条 D.不确定 解析 令f′(x)=3x2=3,得x=±1,故应有2条. 答案 B 6.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 解析 f′(x)=2x-2-=>0,∵x>0, ∴2x2-2x-4>0,即x2-x-2>0.解得x<-1或x>2.又x>0,∴x>2. 答案 C 7.函数f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象为( ) 答案 D 8.定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x<f(x),且f(2)=0,则>0的解集为( ) A.(0,2) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.∅ 解析 []′=<0, ∴为减函数,∵f(2)=0,∴=0. ∴>0的解为0<x<2,故选A. 答案 A 9.下列图象中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f′(x)的图象,则f(-1)=( ) A. B.- C. D.-或 解析 f′(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,∵a≠0,∴图象应为(3).此时f′(0)=a2-1=0,又-a>0,∴a<0,∴a=-1.∴f(-1)=-. 答案 B 10.已知函数f(x)=x-sinx,若x1,x2∈[-,],且f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是( ) A.x1>x2 B.x1<x2 C.x1+x2>0 D.x1+x2<0 解析 易知函数f(x)为奇函数, 又f′(x)=1-cosx≥0,所以函数f(x)为增函数, 由f(x1)+f(x2)>0⇒f(x1)>-f(x2) ⇒f(x1)>f(-x2)⇒x1>-x2⇒x1+x2>0. 答案 C 11.曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析 设B(x0,x),由于y′=3x2, 故切线l的方程为y-x=3x(x-x0), 令y=0得点A(,0), 由|OA|=|AB|,得 ()2=(x0-)2+(x-0)2, 当x0=0时,题目中的三角形不存在,故得x=, 故x=,直线l的斜率为3x=, 故直线l的倾斜角为60°. 答案 C 12.若a,b在区间[0, ]上取值,则函数f(x)=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的概率是( ) A. B. C. D.1- 解析 易得f′(x)=3ax2+2bx+a, 函数f(x)=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0,且其导函数的判别式大于0,即a≠0,且4b2-12a2>0, 又a,b在区间[0,]上取值,则a>0,b>a, 点(a,b)满足的区域如图中阴影部分所示, 其中正方形区域的面积为3,阴影部分的面积为, 故所求的概率是. 答案 C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知曲线y=x2-1在x=x0点处的切线与曲线y=1-x3在x=x0点处的切线相互平行,则x0的值为________. 解析 y=x2-1的导数为y′=2x, y=1-x3的导数为y′=-3x2, ∴由题可知2x0=-3x,∴x0=0,或x0=-. 答案 0或- 14.已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是________. 解析 f′(x)=3x2+a,由题可知f′(x)=0有两个不等的根,∴a<0. 答案 (-∞,0) 15.若f′(x)=3x2-6x,且f(0)=4,则不等式f(x)>0的解集是________. 解析 由题可设f(x)=ax3+bx2+cx+d, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c, ∴∴ ∴f(x)=x3-3x2+4=x3+x2-4(x2-1). =x2(x+1)-4(x-1)(x+1)=(x+1)(x-2)2, ∴f(x)>0的解为x>-1,且x≠2. 答案 {x|x>-1,且x≠2} 16.已知函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是________. 解析 由题可知,函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,所以其导函数f′(x)==在(-2,+∞)上小于零,解得a>6. 答案 (6,+∞) 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)求函数f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最值. 解 f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2) =3(x-1)2+3>0, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故x=-1时,f(x)min=-12; x=1时,f(x)max=2. 即f(x)的最小值为-12,最大值为2. 18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8(a∈R),若f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,求a的取值范围. 解 f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1), 令f′(x)=0,得x1=a,x2=1. (1)当a<1时,则x<a或x>1时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上是增函数. 故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. (2)当a≥1时,则x<1或x>a时,f′(x)>0. ∴f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上是增函数. 从而f(x)在(-∞,0)上是增函数. 综上可知,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. 19.(12分)已知函数f(x)=x3-4x+m在区间(-∞,+∞)上有极大值. (1)求实数m的值; (2)求函数f(x)在区间(-∞,+∞)的微小值. 解 f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令f′(x)=0得,x=-2,或x=2. 故f(x)的增区间为(-∞,-2)和(2,+∞), 减区间为(-2,2). (1)当x=-2时,f(x)取得极大值, 故f(-2)=-+8+m=,∴m=4. (2)由(1)得f(x)=x3-4x+4 又当x=2时,f(x)有微小值f(2)=-. 20.(12分)已知某工厂生产x件产品的成本为C=25 000+200x+x2(元). (1)要使平均成本最低应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 解 (1)设平均成本为y,则y==++200,y′=-+.令y′=0,得x=1 000. 当x<1 000时,y′<0; 当x>1 000时,y′>0. ∴当x=1 000时,y取得微小值,也是最小值. 因此,要使平均成本最低,应生产1 000件产品. (2)设利润为L(x),则 L(x)=500x-=300x-25 000-, L′(x)=300-. 令L′(x)=0,得x=6 000. 当x<6 000时,L′(x)>0;当x>6 000时,L′(x)<0, ∴当x=6 000时,L(x)取得极大值,也是最大值. 因此,要使利润最大,应生产6 000件产品. 21.(12分)已知函数f(x)=x3+x2-2ax-3,g(a)=a3+5a-7. (1)a=1时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在区间[-2,0]上不单调,且x∈[-2,0]时,不等式f(x)<g(a)恒成立,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时,f(x)=x3-x2-2x-3, 定义域为R, f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1). 令f′(x)>0,得x<-1,或x>2. 所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2,+∞). (2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2). 令f′(x)=0,得x=2,或x=-a. ∵函数f(x)在区间[-2,0]上不单调, ∴-a∈(-2,0),即0<a<2. 又∵在(-2,-a)上,f′(x)>0, 在(-a,0)上,f′(x)<0, 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化状况如下表: x -2 (-2,-a) -a (-a,0) 0 f′(x) + 0 - f(x) f(-2) 单调递增 极大值 单调递减 f(0) ∴f(x)在[-2,0]上有唯一的极大值点x=-a. ∴f(x)在[-2,0]上的最大值为f(-a). ∴当x∈[-2,0]时,不等式f(x)<g(a)恒成立,等价于f(-a)<g(a). ∴-a3+×a2+2a2-3<g(a). ∴a3+a2-3<a3+5a-7. ∴a2-5a+4<0,解得1<a<4. 综上所述,a的取值范围是(1,2). 22.(12分)已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)当x>1时,x2+lnx<x3是否恒成立,并说明理由. 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), 由题意得f′(x)=x-(x>0), ∴当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 当a>0时,f′(x)=x-= =. ∴当0<x<时,f′(x)<0, 当x>时,f′(x)>0. ∴当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,). (2)设g(x)=x3-x2-lnx(x>1) 则g′(x)=2x2-x-. ∵当x>1时,g′(x)=>0, ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴g(x)>g(1)=>0. 即x3-x2-lnx>0, ∴x2+lnx<x3, 故当x>1时,x2+lnx<x3恒成立.- 配套讲稿:
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