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第三章--中值定理与导数的应用教学提纲.doc
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1、第三章 中值定理与导数的应用精品资料 第三章 中值定理与导数的应用教学目的:1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理;2、函数的极值 ,判断函数的单调性和求函数极值的方法;
2、3、函数图形的凹凸性;4、洛必达法则。教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用; 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘; 4、洛必达法则的灵活运用。3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0. 简要证明: (1)如果f(x)是常函数
3、, 则f (x)0, 定理的结论显然成立. (2)如果f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点x(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的几何意义: f (x)=, 定理的证明: 引进辅函数令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:
4、j(a)=j(b)=0, j(x)在闭区间a, b 上连续在开区间(a, b)内可导, 且j (x)=f (x)-. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理证毕. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)应用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果记f(x)为y, 则上式又可写为Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 试与微
5、分d y=f (x)Dx 比较: d y =f (x)Dx是函数增量Dy 的近似表达式, 而f (x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式. 作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理: 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数. 证 在区间I上任取两点x1, x2(x1x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0时, . 证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f
6、(0)=0, , 因此上式即为 .又由0xx, 有 . 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 (axb)表示, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x=x 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 . 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F (x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式 .成立. 显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F
7、 (x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (axb), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 3. 3 泰勒公式 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当|x|很小时, 有如下的近似等式: e x 1+x, ln(1+x) x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于x的高阶
8、无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于(x-x0 )的n次多项式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n来近似表达f(x), 要求p n(x)与f(x)之差是比(x-x0 ) n高阶的无穷小, 并给出误差| f (x)- p n (x)|的具体表达式. 我们自然希望p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(
9、直到(n+1)阶导数)相等, 这样就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n , p n(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) + +na n (x-x0 ) n-1 , p n(x)= 2 a 2 + 32a 3(x-x0 ) + + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n(x)= 3!a 3 +432a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n (x0 )= a 1 ,
10、p n (x0 )= 2! a 2 , p n (x)= 3!a 3 , , p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f (x0)= p n (x0)= a 1 , f (x0)= p n (x0)= 2! a 2 , f (x0)= p n (x0)= 3!a 3 , f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 从而有 a 0=f(x0 ), a 1=f (x0 ), , , , . (k=0, 1, 2, , n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)(x-x0) 2 + (x-x0) n .
11、泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到(n+1)的阶导数, 则当x 在(a, b)内时, f(x)可以表示为(x-x0 )的一个n次多项式与一个余项R n(x)之和: 其中(x 介于x0与x之间).这里 多项式 . 称为函数f(x)按(x-x0 )的幂展开的n 次近似多项式, 公式 + , 称为f(x)按(x-x0 )的幂展开的n 阶泰勒公式, 而R n(x)的表达式其中(x介于x与x0之间). 称为拉格朗日型余项. 当n=0时, 泰勒公式变成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f (x)(x-x0 ) (x在x0 与x 之间). 因此, 泰勒中值定
12、理是拉格朗日中值定理的推广. 如果对于某个固定的n, 当x在区间(a, b)内变动时, |f (n+1)(x)|总不超过一个常数M, 则有估计式: ,及 . 可见, 妆x x0时, 误差|R n(x)|是比(x-x0 )n高阶的无穷小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余项的精确表达式时, n 阶泰勒公式也可写成 + . 当x0 =0时的泰勒公式称为麦克劳林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 误差估计式变为: . 例1写出函数f(x)=e x 的n 阶麦克劳林公式. 解: 因为 f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0
13、)=f (0)=f (0)= =f ( n)(0)=1 , 于是 (0q1), 并有 . 这时所产性的误差为 |R n(x)|=|x n+1| x | n+1. 当x=1时, 可得e的近似式: . 其误差为 |R n |0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调增加; (2)如果在(a, b)内f (x)0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调减少. 证明 只证(1). 在a, b上任取两点x1 , x2 (x1 x2 ), 应用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2-x1) (x1 x0, 因此, 如果在(a, b)内导数f (x)保持正号, 即f (x)0,
14、 那么也有f (x)0. 于是f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2 -x1 )0, 即 f(x1 )0, 所以由判定法可知函数y=x-cos x 在0, 2p上的单调增加. 例2 讨论函数y=e x -x-1的单调性. (没指明在什么区间怎么办?) 解 y=e x -1. 函数y=e x -x-1的定义域为(-, +). 因为在(-, 0)内y0, 所以函数y=e x -x-1在0, +)上单调增加. 例3. 讨论函数的单调性. 解: 函数的定义域为(-, +). 当时, 函数的导数为 (x0), 函数在x=0处不可导. 当x=0时, 函数的导数不存在. 因为x0时, y0时, y0,
15、 所以函数在0, +)上单调增加. 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程f (x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间, 就能保证f (x)在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f(x)在每个部分区间上单调. 例4. 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-, +). 函数的导数为:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 导数为零的点有两个: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 11, 22, +)f (x)+-+f(x)函数f(x)在区间(
16、-, 1和2, +)内单调增加, 在区间1, 2上单调减少. 例5. 讨论函数y=x3的单调性. 解 函数的定义域为: (-, +). 函数的导数为: y=3x2 . 除当x=0时, y=0外, 在其余各点处均有y0. 因此函数y=x 3在区间(-, 0及0, +)内都是单调增加的. 从而在整个定义域: (-, +)内是单调增加的. 在x=0处曲线有一水平切线. 一般地, 如果f (x)在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正(或负)时, 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 例6. 证明: 当x1时, . 证明: 令, 则 . 因为当x1时, f (x)0, 因此f
17、(x)在1, +)上f(x)单调增加, 从而当x1时, f(x)f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)f(1)=0, 即 , 也就是(x1). 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义 设函数y=f(x)在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线在区间I上是凹的;如果
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