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2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-1)综合质量评估.docx
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1、温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“假如-1a1,那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集为”,它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有()A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选C.当-1a1时,=(a+2)2+4(a2-4)=5a+252-45-1251+252-45-12b0是a2b2的充要条件;ab0是1
2、ab0是a3b3的充要条件.其中正确的说法有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.ab0a2b2,a2b2|a|b|ab0,故错.ab01a1b,但1ab0,故错.ab0a3b3,但a3b3ab0,故错,故选A.3.(2022吉林高二检测)“1m0,3-m0,所以1m3;但当1m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AFx轴,则双曲线的离心率为()A.5+12B.2+1C.3+1D.22+12【解析】选B.如图,由双曲线x2a2-y2b2=1,且AFx轴得c2a2-y2b2=1得|y|=b2a,由抛物线y2=2px的定义得AF=p,即
3、b2a=2c.得b2=2ac,所以b2a2=2ca,e2-1=2e,所以e=2+1.【拓展延长】求离心率的方法(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=ca.已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率.这是求离心率的格外重要的思路及方法.(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,依据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观看线段之间的关系,使问题更形象、直观.
4、【变式训练】若双曲线C:x2-y2b2=1(b0)的顶点到渐近线的距离为22,则双曲线的离心率e=()A.2B.2C.3D.3【解析】选B.由双曲线方程知a=1,所以c=1+b2,所以一条渐近线的方程为y=bx,即bx-y=0.所以|b-0|b2+1=22,解得b=1,所以c=2,所以e=ca=2.5.(2022昌平高二检测)已知命题p:xR,x2,那么下列结论正确的是()A.命题p:xR,x2B.命题p:x0R,x02C.命题p:xR,x-2D.命题p:x0R,x0-2【解析】选B.全称命题的否定是特称命题,所以命题p:x0R,x02.6.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABC
5、D沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则B与D之间的距离为()A.1B.102C.12D.32【解析】选B.过B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.由于BD=BM+MN+ND,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+ 2(BMMN+ MNND+BMND)=322+12+322+2(0+0+0)=52,所以|BD|=102.7.(2022东城高二检测)过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A,B两点,若AB=10,则AB的中点到y轴的距离等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选
6、D.抛物线y2=4x的焦点(1,0),准线为l:x=-1,设AB的中点为E,过A,E,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,F,D,EF交纵轴于点H,如图所示,则由EF为直角梯形的中位线知,|EF|=|AC|+|BD|2=|AB|2=5,所以EH=EF-1=5-1=4,即AB的中点到y轴的距离等于4.8.(2022牡丹江高二检测)在四边形ABCD中,“R,使得AB=DC,AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若AB=DC,AD=BC,则ABDC,ADBC,即ABDC,ADBC,所以四边形ABCD为
7、平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,则有ABDC,ADBC且AB=DC,AD=BC,即AB=DC,AD=BC,此时=1,所以R,使得AB=DC,AD=BC成立.所以“R,使得AB=DC,AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60B.90C.45D.以上都不正确【解析】选B.以点D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,
8、2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E=(1,1,-1),EA=(0,-1,-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z).则y-z=0,x+y-z=0.令z=1,得y=1,x=0.所以n=(0,1,1),cos= =-222=-1.所以=180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90.10.设F1,F2是双曲线x2-4y2=4a(a0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足:PF1PF2=0,|PF1|PF2|=2,则a的值为()A.2B.52C.1D.5【解析】选C.双曲线方程化为x24a-y2a=1(a0),由于PF1PF2=0,所以PF1PF2.所
9、以|PF1|2+|PF2|2=4c2=20a.由双曲线定义|PF1|-|PF2|=4a,又已知|PF1|PF2|=2,由得20a-22=16a,所以a=1.11.(2022长沙高二检测)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PAPC1的取值范围是()A.-1,-14B.-12,-14C.-1,0D.-12,0【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系,则A(1,0,1),C1(0,1,0).设P(x,y,0),其中0x1,0y1.则PA=(1-x,-y,1),PC1=(-x,1-y,0),所以PAPC1=(1-x,-y,1)(-x,1-y,0)=x-12
10、2+y-122-12,由于x-122+y-122的几何意义是平面区域0x1,0y1到点12,12的距离的平方,所以当x=y=12时,x-122+y-122有最小值0,当x=y=0或x=y=1或x=1,y=0或x=0,y=1时,x-122+y-122有最大值12,所以-12x-122+y-122-120,即PAPC1的取值范围是-12,0.12.(2022北京高二检测)已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是()A.34B.32C.3D.23【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p0),依据对称性可知,正六边形ABCDEF的顶点A
11、,B,C,F在抛物线y2=2px上,设A(x1,1),F(x2,2),则1=2px1,4=2px2,即x2=4x1,又AF=(x1-x2)2+(1-2)2=2,即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3,所以x12=13,x1=33,即p=12x1=1233=32.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2022广州高二检测)抛物线焦点在y轴上,且被y=12x+1截得的弦长为5,则抛物线的标准方程为.【解析】设抛物线方程为x2=my,联立抛物线方程与直线方程y=12x+1并消元,得:2x2-mx-2m=0,所以x1+x2=m2,x1x2=-m,所以
12、5=1+122(x1+x2)2-4x1x2,把x1+x2=m2,x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.答案:x2=4y或x2=-20y14.在ABC中,若ACB=90,BAC=60,AB=8,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一点,则PM的最小值为.【解析】由条件知PC,AC,BC两两垂直,设CA=a,CB=b,CP=c,则ab=bc=ca=0,由于BAC=60,AB=8,所以|a|=|CA|=8cos60=4,|b|=|CB|=8sin60=43,|c|=|PC|=4.设AM=xAB=x(b-a),其中x0,1,则PM=PC+CA+AM
13、=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+xb-c,|PM|2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)xab-2xbc-2(1-x)ac=16(1-x)2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64x-142+28,所以当x=14时,|PM|2取最小值28,所以|PM|min=27.答案:2715.(2022青岛高二检测)在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,试用基底a,b,c表示向量PG=.【解析】由于BG=2GD,所以BG=23BD.又BD=BA+BC=PA-PB+PC-PB=a+c-
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