【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第1章-第1节-集合.docx

第一章　第一节

一、选择题
1．设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{x|y＝}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　M＝(0,1)，N＝(0,1]，∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，故选A.
2．(2022·山西高校附中月考)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为(　　)
A．0 B．－2
C．0或－2 D．0或±2
[答案]　C
[解析]　当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，∴x≠2；若x＝－2，则A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，满足题意，当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，∴x＝0或－2.
3．(文)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B等于(　　)
A．{x|－1<x<－或2<x<3}
B．{x|2<x<3}
C．{x|－<x<2}
D．{x|－1<x<－}
[答案]　D
[解析]　∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，
解得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．
∵<0，∴(2x＋1)(x－3)>0，
解得x<－或x>3，即B＝{x|x<－或x>3}，
故A∩B＝{x|－1<x<－}．
(理)(2021·贵州六校联考)设集合M＝{x|x2－x－6<0}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N等于(　　)
A．(1,2) B．(－1,2)
C．(1,3) D．(－1,3)
[答案]　C
[解析]　M＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以M∩N＝{x|1<x<3}，选C.
4．(文)(2021·北京市朝阳区期中)已知集合A＝{x2＋x－2<0}，B＝{x|x>0}，则集合A∪B等于(　　)
A．{x|x>－2} B．{x|0<x<1}
C．{x|x<1} D．{x|－2<x<1}
[答案]　A
[解析]　由x2＋x－2<0得－2<x<1，
∴A∪B＝{x|x>－2}．
(理)(2021·北京东城期末)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　)
A．1　　 B．3　　　　
C．4　　 D．8
[答案]　C
[解析]　∵A∪B＝{1,2}∪B＝{1,2,3}，∴集合B的可能状况为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}，故选C.
5．(2022·乌鲁木齐地区三诊)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(　　)
A．{2,4,5}　　　 B．{1,3,4}
C．{1,2,4}　　　 D．{2,3,4,5}
[答案]　A
[解析]　∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,4,5}．
6．(文)(2021·北京丰台期末)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5,7}，则实数a的值为(　　)
A．2或－8 B．－2或－8
C．－2或8 D．2或8
[答案]　D
[解析]　∵U＝{1,3,5,7}，∁UM＝{5,7}，
∴M＝{1,3}．
∴|a－5|＝3⇒a＝2或8，故选D.
(理)(2021·广东佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于(　　)
A．{1,4} B．{2,4}
C．{2,5} D．{1,5}
[答案]　B
[解析]　由题意易得U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U(A∪B)＝{2,4}．故选B.
二、填空题
7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
[答案]　a≤1
[解析]　由于A∪B＝R，画数轴可知，实数a必需在点1上或在1的左边，所以a≤1.

8．(文)已知集合A＝{x|logx≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.
[答案]　0
[解析]　A＝{x|0<x≤}，∵A⊆B，
∴a≤0，∴c＝0.
(理)(2022·兰州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m的值为________．
[答案]　0或2或3
[解析]　当m＝0时，B＝∅⊆A；
当m≠0时，由B＝{}⊆{2,3}可得
＝2或＝3，解得m＝3或m＝2，
综上可得实数m＝0或2或3.
9．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c，其中c>0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是________．
[答案]　[2，＋∞)
[解析]　A＝{x|0<x<2}，由A∪B＝B得A⊆B，所以c≥2.
三、解答题
10．(文)设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，恳求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析]　假设A∩B≠∅，则方程组
有正整数解，消去y得，
ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)
由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，
解得－≤a≤.
因a为非零整数，∴a＝±1，
当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，
而x∈N*.故a≠－1.
当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．
故存在a＝1，使得A∩B≠∅，
此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．
(理)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)问是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A是B的子集？若存在，求a；若不存在，说明理由；
(2)若A是B的子集成立，求出对应的实数对(a，b)?
[解析]　(1)A＝{4＋a，a－4}，要使得对任意实数b，都有A⊆B，只能是A⊆{1,2}，但A中两元素之差(4＋a)－(a－4)＝8≠2－1，故这样的实数a不存在．
(2)若A是B的子集成立，则必有|b－1|＝8或|b－2|＝8，
解得b＝－7,9，－6,10.
当b＝－7时，a＝－3；
当b＝9时，a＝5；
当b＝－6时，a＝－2；
当b＝10时，a＝6.
即对应的实数对(a，b)为(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．

一、选择题
11．(文)(2022·长春市调研)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中有________个元素．(　　)
A．4　　 B．5　　　　
C．6　　 D．7
[答案]　C
[解析]　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C.
(理)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于(　　)
A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)
C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．
所以A×B＝(2，＋∞)．
12．(文)(2022·巢湖质检)设集合A＝{x|＋＝1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝(　　)
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}
[答案]　B
[解析]　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．
(理)(2021·开封四中期中)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x≥－3} B．{x|1<x≤3}
C．{x|x>1} D．∅
[答案]　B
[解析]　由9－x2≥0得－3≤x≤3，
∴A＝{x|－3≤x≤3}；
由x>0得y＝2x>1，∴B＝{y|y>1}，
∴A∩B＝{x|1<x≤3}．
13．(文)(2022·湖北八校其次次联考)设集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中全部元素之和为8，则实数a的取值集合为(　　)
A．{0} B．{0,3}
C．{1,3,4} D．{0,1,3,4}
[答案]　D
[解析]　由题意，若a≠3，则A＝{3，a}，B＝{1,4}．
∵1＋3＋4＝8，∴a＝0,1或4.
若a＝3，则A＝{3}满足题意，故a的取值集合为{0,1,3,4}．
(理)(2022·北京顺义第一次统考)设数集M同时满足条件：
①M中不含元素－1,0,1；
②若a∈M，则∈M.
则下列结论正确的是(　　)
A．集合M中至多有2个元素
B．集合M中至多有3个元素
C．集合M中有且仅有4个元素
D．集合M中有无穷多个元素
[答案]　C
[解析]　由条件②可知，若a∈M，则∈M，则＝－∈M，＝∈M，
则＝＝a∈M；
由条件①可知a、、－、互不相等，故集合M＝{a，，－，}，有且仅有4个元素．
14．(2021·唐山市海港高级中学月考)下列结论正确的有(　　)
①已知集合M＝{3，log2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{0}，则M∪N＝{0,1,2}．
②集合{y|y＝2x2－3}与集合{(x，y)|y＝2x2－3}是同一个集合；
③由1，，，|－|,0.5这些数组成的集合有5个元素 ；
④集合{(x，y)|xy≤0，x、y∈R}是指其次和第四象限内的点集．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　A
[解析]　①由条件知log2a＝0，∴a＝1，∴b＝0，∴M∪N＝{0,1,3}，故①错；
②前一个集合是数集，后一个集合是点集，故②错；
③由于＝，|－|＝0.5，故③错；
④当x＝0时，xy≤0成立，此时点(x，y)落在y轴上，故④错．
二、填空题
15．(文)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
[答案]　{(0,1)，(－1,2)}
[解析]　A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的全部点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．
(理)若A＝{x|22x－1≤}，B＝{x|logx≥}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.
[答案]　{x|0<x≤}
[解析]　由22x－1≤得，x≤－，
由logx≥得，0<x≤，
∴(∁RA)∩B＝{x|x>－}∩{x|0<x≤}
＝{x|0<x≤}．
16．(文)已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件：A∩B＝{1,2}，A∩(∁UB)＝{3}，U＝R，则a＋b等于________．
[答案]　1
[解析]　依题意得1∈A,2∈A,3∈A，因此，2和3是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，
所以2＋3＝－a,2×3＝b，
∴a＝－5，b＝6.∴a＋b＝1.
(理)集合A＝{x|log2(x＋)<0}，函数y＝x－2的单调递增区间是集合B，则在集合A中任取一个元素x，x∈B的概率是________．
[答案]　
[解析]　A＝{x|log2(x＋)<0}＝{x|－<x<}，由于函数y＝x－2的单调递增区间是集合B，所以B＝{x|x<0}，所以A∩B＝(－，0)．
在集合A中任取一个元素x，若x∈B，则x∈(A∩B)，故所求概率P＝＝.
三、解答题
17．(文)(2022·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[解析]　由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，
(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.
(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，
当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；
但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．
故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.
(理)(2022·临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．
[解析]　∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，
∴A＝{x|2<x<4}．
(1)当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要使A⊆B，
应满足⇒≤a≤2，

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}．要使A⊆B，
应满足不等式组无解，即不存在符合条件的a，
∴综上可知，当A⊆B时，a的取值范围是≤a≤2.
(2)要满足A∩B＝∅，
当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，
若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤2，
∴0<a≤或a≥4；
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，
若A∩B＝∅，则a≤2或a≥，
∴a<0；
验证知当a＝0时也成立．
综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.
(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，明显a>0且a＝3时成立，
∵此时B＝{x|3<x<9}，
而A∩B＝{x|3<x<4}，
故所求a的值为3.
18．(2021·合肥市庐江二中，巢湖四中联考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B为函数y＝x2－2x＋a的值域，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C.
(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
[解析]　∵y＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1≥a－1，∴B＝{y|y≥a－1}，A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，C＝{x|x2－ax－4≤0}．
(1)由命题p是假命题，可得A∩B＝∅，即a－1>2，∴a>3.
(2)∵p∧q为真命题，∴p、q都为真命题．
即A∩B≠∅，且A⊆C，
∴有解得0≤a≤3.