2022届高考数学理科一轮复习课时作业-3-7正弦定理和余弦定理-.docx

第七节　正弦定理和余弦定理

题号
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5
6
答案

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为(　　)
A．2sin C B．2cos B
C．2sin B D．2cos C
解析：＝＝2cos B．故选B.
答案：B
2．在钝角△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
解析：由＝得sin C＝，C＝120°或C＝60°(舍去)，则A＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝，故选C.
答案：C
3．在△ABC中，已知sin Bsin C＝cos2，则三角形的外形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：∵sin Bsin C＝cos2，
∴sin Bsin C＝.
∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)]．
将cos(B＋C)＝cos Bcos C－sin Bsin C代入上式得cos Bcos C＋sin Bsin C＝1.
∴cos(B－C)＝1.
又0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.
∴B－C＝0.∴B＝C.
故此三角形是等腰三角形．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，sin 2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)
A.　 B.
C. D.
解析：由正弦定理得，a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
由余弦定理得，cos A＝≥＝.
又∵0<A<π，∴0<A≤.故选C.
答案：C
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acos B＋bcos A＝csin C，S＝(b2＋c2－a2)，则B＝(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：由余弦定理可知：acos B＋bcos A＝a＋b＝csin C，于是sin C＝1，C＝，从而S＝ab＝(b2＋c2－a2)＝(b2＋b2)，解得a＝b，
∴B＝45°.故选C.
答案：C
6．(2021·皖南八校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，则c＝(　　)
A.　 B.　 C．3　 D.
解析：在△ABC中，由余弦定理得
cos B＝＝，
∵a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，
∴cos B＝＝，即3＋4(c－b)＝3c，3＋c＝4b，结合b＋c＝4解得c＝.故选A.
答案：A
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
解析：由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac.
所以a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则角A＝________．
解析：由sin C＝2sin B得c＝2b，
∴cos A＝＝＝.
∴A＝30°.
答案：30°
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
解析：＝＝，而sin A＝，可得sin C＝，
由于BC>AB，所以C为锐角，cos C＝＝，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
所以＝.
答案：
10．如图，在△ABC中，D是边AC的中点，且AB＝AD＝1，BD＝.
(1)求cos A的值；
(2)求sin C的值．
解析：(1)在△ABD中，AB＝AD＝1，BD＝，
∴cos A＝＝＝.
(2)由(1)知，cos A＝，且0＜A＜π，
∴sin A＝＝.
∵D是边AC的中点，
∴AC＝2AD＝2.
在△ABC中，cos A＝＝＝，
解得BC＝.
由正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝.
11．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求△ABC的面积以及b的值．
解析：(1)∵a＝2bsin A，由正弦定理得sin A＝2sin Bsin A.
由于sin A≠0，
故有sin B＝.
又∵B是锐角，
∴B＝30°.
(2)依题意得S△ABC＝acsin 30°
＝×3×5×
＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得
b2＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°
＝27＋25－45＝7，
∴b＝.