高中数学(北师大版)选修2-3教案：第1章-新知导学：排列.docx

排列
排列部分的题目背景多是“数学问题”和“人和物的排列问题”，在学习本节内容时，要擅长把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语，正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式解决。本文对该学问点进行阐释，供参考：
一、重点学问讲解
1．排列的概念
（1）排列的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，依据确定的挨次排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
（2）说明：①推断一个问题是否是排列问题，关键是看取出的元素是有序还是无序，只有与挨次有关的问题才是排列问题。
②写出某个问题的全部排列时，要借助于树图这个工具，做到“不重不漏”。
③排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按确定挨次排列”。
④在定义中规定，假如，有的书中称为选排列；假如，称为全排列。
⑤只有当元素完全相同，并且元素排列挨次也完全相同时，才是同一排列，其他状况都不是同一排列。
⑥排列是分步乘法计数原理与分类加法计数原理的深化与拓展。
2．排列数公式
（1）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的全部排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
说明：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同元素中取出个元素，依据不确定的挨次排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是指“从个不同元素中取出个元素的全部不同排列的个数”，它是一个数。
（2）排列数公式：…，其中，且、，这个公式叫做排列数公式。
说明：①排列数公式的推导过程是不完全归纳，并不是严格证明，要进行严格证明，可接受数学归纳法证明。
②这个公式是在、，且状况下成立，不成立。
③该公式的特点是右边的第一个因数是，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最终一个因数为，共有个因数相乘。
3．全排列、阶乘及排列数公式的阶乘表示
（1）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列。即当时，…321，这个公式指出个不同元素全部取出的排列数，等于自然数1到的连乘积。
（2）阶乘：自然数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即。
由此得到排列数公式为=，特殊留意：规定。
（3）说明：①在一般状况下，要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积形式公式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，一般用阶乘式表示。
②是一种规定，不能按阶乘的含义作解释。
4．排列问题
（1）有关排列应用题的解题步骤
①依据题意，推断是否为排列问题，若与挨次有关则为排列问题，并进一步分清是否为全排列，防止重复与遗漏。
②对问题进一步细化，确定特殊位置及特殊元素，适当选用直接法或排解法（间接法）。
③利用排列数公式求值，并且做出明确的结论。
说明：对于同一个问题，有时从特殊位置除法较简洁，有时从特殊元素动身较简洁，应机敏运用。通过排列应用题的解答，要深化对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的生疏，具有“全局分类”和“局部分步”的意识。
（2）解决排列应用题的常用方法
方法名称
战术方法
适用范围
位置分析法
以位置为主，先满足特殊（受限）位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约束条件，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件。
元素在某一位置或不在某一位置；比某一数大或某一数小等问题。
元素分析法
以元素为主，先满足特殊（受限）元素的要求，再处理其他元素，有两个以上的约束条件，往往是考虑一个元素的同时要兼顾其他元素。
同上
捆绑法
把要求在一起的“小集团”看为一个整体，与其他元素进行排列，同时不要遗忘小集团内也要排列。
含有“必需在一起”的问题。
插空法
先把没有限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好元素的空中，要留意无限制元素的排列数及所形成的空的个数。
含有“不相邻”的问题。
排解法
直接考虑时状况较多，但其对立面状况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，然后用总状况减去即可，在此方法中，对立面问题要“不重不漏”。
含有“至少”、“至多”等的问题。
说明：各种方法之间相互联系，在解决问题时可以独立应用，也可混合应用，应用时不要过于死板。
二、实际应用举例
例1 （1）若，则；
（2）若，则。
分析：利用排列数公式将方程、不等式转化为关于的代数方程、不等式进行求解。
解析：（1）原不等式即，其中，
即，
∴，
∴，解得或，
又，，∴，，
故2，3，4，5，6，7。
（2）∵原式左边
，
∴，
即，
∴，或（舍去），
由于，从而适合题意。
评注：有关以排列数等公式形式给出的方程、不等式，应依据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解。但应留意其中的字母都是满足确定限制条件的自然数，不要忽视这一点。
例2 从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程？其中有实根的方程有多少个？
分析：题目有两问：第一问隐蔽的限制条件是，其次问的限制条件等价于，即受不等式的制约，需分类争辩。
解析：先考虑组成一元二次方程的问题：
首先确定，只能从1，3，5，7中选一个，有种，然后从余下的4个数中任选两个做、，有种，故由分步乘法计数原理知，组成一元二次方程共有（个）。
方程有实根，必需满足，分类争辩如下：
当时，、可在1，3，5，7中任取两个排列，有个；
当时，分析判别式知，只能取5，7。
当取5时，，只能取1，3这两个数，有种；当取7时，，可取1，3或1，5这两组数，有2种。此时共有（+2）个。
由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有++2=18个。
评注：该例的限制条件较隐蔽，需认真分析。一元二次方程中需要考虑到，而对有实根的一元二次方程，需有。这里有两层意思：一是不能为0；二是要保证，所以需先对能否取0进行分类争辩。实际问题中，既要能观看出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要依据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法。
例3 3名女生和5名男生排成一排。
（1）假如女生必需全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）假如女生必需全分开，可有多少种不同的排法？
（3）假如两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）假如两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
分析：用捆绑法解决（1）；用插空法解决（2）；特殊元素为女生，特殊位置为两端，因此可以用位置分析法或元素分析法，也可用间接法处理（3）；当首位为女生或男生两种状况，用分类加法计数原理解决（4），也可用全部的状况中扣除两端都为女生的状况解决（4）。
解决：（1）（捆绑法）由于3名女生必需排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有种不同的排法。对于其中的每一种排法，3名女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法。
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把5名男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两男生外侧的两位置，共有6个位置，再把3名女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于5名男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出三个来让3名女生插入都有种方法，因此共有=14400种不同的排法。
（3）方法1（位置分析法）：由于两端都不能排女生，所以两端只能选择5名男生中的2名，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法。
方法2（元素分析法）：从中间6个位置中选择出3个来让3名女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有=14400种不同的排法。
方法3（间接法）3名女生和5名男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法被多扣除一次，所以还需要加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有=14400种不同的排法。
（4）方法1：该问题可分为两类：
第一类：当首位是男生时，则满足条件的有种不同的排法；
其次类：当首位是女生时，则满足条件的有种不同的排法。
利用分类加法计数原理可得共有=36000种不同的排法。
方法2：当两端都是女生时，共有种不同的排法，
又3名女生和5名男生排成一排共有种不同的排法，
所以利用间接法可得共有=36000种不同的排法。
评注：排队问题是一类典型的问题，充分体现了各种方法的应用。