2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练24.docx

双基限时练(二十四)
一、选择题
1．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则(　　)
A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0
解析　由题意，得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
答案　B
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1　　　　　 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案　A
3．已知圆C与圆(x＋1)2＋y2＝1关于直线y＝x对称，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析　(－1,0)关于y＝x对称的点为(0，－1)．
答案　C
4．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝(　　)
A．3 B．2
C．5 D．1
解析　由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，
∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
答案　A
5．若直线y＝ax＋b通过一、二、三象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心位于(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－
∵直线过一、二、三象限，∴得
∴圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心(a，b)在第一象限．
答案　A
6．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是(　　)
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x＋)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋)2＝5
解析　设圆心为(a,0)(a<0)，则＝，
∴a＝－，∴圆O的方程为(x＋)2＋y2＝5，故选C.
答案　C
二、填空题
7．过点A(1，－1)与B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为________．
答案　(x－1)2＋(y－1)2＝4
8．若圆(x＋)2＋(y－)2＝1关于直线y＝x对称的曲线仍是其本身，则实数a的值为________．
解析　圆心在直线y＝x上，即＝－，即2a2＝1，得a＝±.
答案　±
9．已知动点M在x2＋y2＝4上运动，点A(3,4)，则|MA|的最大值、最小值分别是________、________.
解析　|MA|max＝|OA|＋r＝＋2＝7，
|MA|min＝|OA|－2＝5－2＝3.
答案　7　3
三、解答题
10．求圆心在直线2x－y－7＝0上，与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)的圆的标准方程．
解　由题意得圆心在AB的中垂线y＝－3上，
由得
∴圆心坐标为(2，－3)．
又半径r＝＝.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
11．求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程．
解　解法1：直线AB的斜率k＝＝－1，

所以AB的垂直平分线m的斜率为1.
AB的中点的横坐标和纵坐标分别为
x＝＝，y＝＝，
因此，直线m的方程为y－＝1，
即x－y－1＝0.
又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．
联立方程组得
所以圆心坐标为C(3,2)，又半径r＝|CA|＝.
则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法2：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得解得
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
12．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解　(1)∵PQ所在的直线过(1,0)，(0,1)，
故PQ所在的直线方程为x＋y＝1，
PQ的中点为.
∴PQ的中垂线方程即圆心所在的直线方程为y－＝x－，即y＝x.
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝1.
由题意，得(1－a)2＋a2＝1，得a＝0，或a＝1，
故所求圆的方程为x2＋y2＝1，或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
思 维 探 究
13．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
解　∵圆(x－)2＋(y－1)2＝4的圆心为(，1)．
又圆心到直线l：x－y＝5的距离为
d＝＝＝.
∴C上的点到直线l的距离的最大值为＋2＝5－，
最小值为－2.