高中数学(北师大版)必修三教案：1.7-知识解析：相关性.docx

相关性-课文学问点解析
全析提示
1.散点图
为了了解人的身高与体重的关系，我们随机地抽取9名15岁的男生，测得身高、体重如下表：
编 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
165
157
155
175
168
157
178
160
163
体重/kg
52
44
45
55
54
47
62
50
53
从表中不难看出，同一身高157 cm对应着不同的体重44 kg和47 kg，体重不是身高的函数.假如把身高看作横坐标、体重看作纵坐标，在坐标系中画出对应的点，就会发觉，随着身高的增长，体重基本上是呈直线增加的趋势.
[
图1－7－1
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫做变量之间的散点图.
散点图的制作通常有两种方法：一是手工绘图；二是用计算机作图.手工作图比较烦琐，也易消灭误差，不够精确，我们通常利用计算机作图，简洁而精确     .
下面，我们再看一个例子：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的争辩中，争辩人员得到了一组数据（如下表）：
人体的脂肪百分比和年龄
年 龄
23
27
39
41
45
49
50
脂 肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2

年 龄
53
54
56
57
58
60
61
脂 肪
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
依据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系？
一般地，对于某个人来说，他的体内脂肪不肯定随年龄增长而增加或削减.但是把很多个体放在一起，这时就可能表现出肯定的规律性来.观看表中数据，大体上来看，随着年龄的增长，人体中的脂肪百分比也在增加.为了确定这一细节，我们需要对数据进行分析，可以作一个散点图，使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和推断.

图1－7－2
从散点图中我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间的确存在肯定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.
2.线性相关
我们看下面几个散点图.

图1－7－3
从散点图上看，假如变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致的趋势（如图a、图b）， 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.
若在两个变量x和y的散点图中，全部点看上去都在一条直线四周波动，则称变量间是线性相关的.此时，我们可以有一条直线来近似表示（如图a）.
若全部点看上去都在某条曲线（不是一条直线）四周波动，则称此相关为非线性相关.此时，可以用一条曲线来拟合（如图b）.假如全部的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的（如图c）.
我们重点来争辩相关中的线性相关.
下面我们再来看体内脂肪的含量与年龄的关系.那么，当人的年龄增长时，体内脂肪含量到底以什么方式增加呢？我们从脂肪含量与年龄的散点图中可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线四周，这两个量之间具有线性相关性.

图1－7－4
那么，如何确定这条直线呢？这条直线有什么特点呢？要想确定这条直线，必需先弄清该直线的特点.这条直线代表了全部散点的进展变化趋势，也就是说全部散点到该直线的距离最小，使散点都尽可能地处在该直线的四周.
下面我们看几种确定这条直线的方法.
（1）我们可以接受测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就确定了这条直线.

图1－7－5
（2）在图中选择这样两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.

图1－7－6
（3）我们还可以在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为要确定直线的斜率和截距.

图1－7－7
以上几种方法，确定的直线方法差别很大，结果所确定的直线也有较大的差别.但是这种探究活动是格外有意义的，是查找最佳方案的必要前提.

问题：（课本第54页）
（1）制散点图时，我们一般要借助于计算机中的电子表格软件（Excel），以身高作为横坐标，以右手一拃长作为纵坐标，作图.

图1－7－8
从散点图1－8－8中可以发觉，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的.
对第（2）小问题，课本给出四个解决方案，这四个方案从方法上差别较大，得到的数据也有肯定的差距，但不能否认这四种方法都有肯定的道理，我们想要得到的直线只是对其变化趋势的一个近似的描述，对于一个给定身高的人，我们用这条直线来估量这个人的右手一拃长，是格外有意义的.
那么，本节要想确定表示线性相关的直线，我们可以借助于电子表格软件来处理，至于从理论上怎么来处理这一问题，这将是下一节要争辩的内容.
为了使取得的样本具有广泛代表性，应接受抽样的方法，如简洁随机抽样、分层抽样等抽样方法.

思维拓展
假如身高和体重存在函数关系，则图象应为平滑的直线或曲线，或为均匀分散在直线或曲线上的点.

全析提示
可利用计算机中的电子表格软件制作两个变量间的散点图.

全析提示
要从实践中不断提高分析数据的力量，我们往往借助于列表和作图来分析数据.

全析提示
在作散点图时，假设年龄影响体内脂肪含量，按习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量.

全析提示
我们通常利用变量间的散点图来推断变量间的关系.假如全部点看上去都在一条直线四周波动，则变量间是线性相关；若在某条曲线四周波动，则称非线性相关；若没有显示任何关系，则称不相关.

全析提示
这条直线必需能近似地代表散点的变化进展趋势.

思维拓展
此种方法确定直线有不足之处，通过移动直线使距离和最小，只是一种直观的感觉，缺乏严格规律.

思维拓展
此种方法保证直线两侧点数基本相同，但并不能保证全部散点到直线的距离和最小.

思维拓展
用此种方法来确定直线，由于图中点较多，任意两点确定一条直线，直线条数较多，难操作，并且也很难保证全部点到直线的距离和最小.

全析提示
用电子表格制散点图时，在第一列应输入x轴所表示的数据（身高），在其次列应输入y轴所表示的数据（右手一拃长）.

全析提示
这四种方法都带有肯定的主观性，缺乏严格的理论依据和规律性.