【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章-第5节-双曲线.docx

第八章　第五节

一、选择题
1．(文)(2022·广东文)若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．实半轴长相等　　 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
[答案]　D
[解析]　∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D.
(理)(2022·广东理)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．焦距相等　　　 　 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
[答案]　A
[解析]　由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等，选A.
2．(文)设P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是(　　)
A．内切 B．外切
C．内切或外切 D．不相切
[答案]　A
[解析]　取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．

由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，
即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，
即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．
(理)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则以线段PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
[答案]　B
[解析]　设双曲线左焦点为F1，PF的中点为C，则由双曲线的定义知，|PF1|－|PF|＝2a，∵C、O分别为PF、F1F的中点，∴|PF1|＝2|CO|，|PF|＝2|PC|，
∴|CO|－|PC|＝a，即|PC|＋a＝|CO|，∴两圆外切．

3．(文)(2022·河北石家庄其次次质检)已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不行能是(　　)
A．15° B．25°
C．60° D．165°
[答案]　C
[解析]　双曲线的渐近线方程为±＝0，两渐近线的斜率k＝±＝±，渐近线的倾斜角分别为30°，150°，所以∠POF的大小不行能是60°.
(理)(2022·甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案]　C
[解析]　由于以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以以此双曲线的方程为－＝1.
4．(2022·山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为(　　)
A．6 B．2
C. D．2
[答案]　D
[解析]　设双曲线C1的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)，准线方程为x＝－3，即双曲线中c＝3，a2＋b2＝9，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为4，所以＝2，与a2＋b2＝9联立，得a2＋2a－9＝0，解得a＝，故双曲线C1的实轴长为2，故选D.
5．(2021·焦作市期中)已知双曲线－y2＝1(a>0)的实轴长为2，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　B
[解析]　由条件知2＝2，∴a＝1，
又b＝1，∴c＝，∴e＝＝.
6．(文)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．16 D．20
[答案]　B
[解析]　由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.
据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.
(理)(2022·江西赣州四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上状况都有可能
[答案]　B
[解析]　设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支上，如图所示，则|O2O|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切．若P在双曲线右支上，同理求得|OO1|＝r1－r2，故此时两圆内切．综上，两圆相切，故选B.

二、填空题
7．(文)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有________条．
[答案]　3
[解析]　过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条．
(理)(2022·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
[答案]　
[解析]　联立渐近线与直线方程可解得A(，)，B(，)，则kAB＝，设AB的中点为E，由|PA|＝|PB|，可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为－3，∴＋＝6，化简得4b2＝a2，所以e＝.
8．(2022·温州十校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的两条切线，记切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率e＝________.
[答案]　2
[解析]　连接OA，依据题意以及双曲线的几何性质，|FO|＝c，|OA|＝a，而∠ACB＝120°，∴∠AOC＝60°，又FA是圆O的切线，故OA⊥FA，在Rt△FAO中，简洁得到|OF|＝2a，∴e＝＝2.

9．(文)(2021·河南八校联考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．
[答案]　
[解析]　由条件知a2＋5＝9，∴a＝2，∴e＝＝.
(理)(2022·深圳调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________．
[答案]　x2－＝1
[解析]　易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，
∴，∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
三、解答题
10．(文)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．
[解析]　(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①
由题设条件知，
解得0<a<且a≠1，
又双曲线的离心率e＝＝，
∵0<a<且a≠1，∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2，
∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，
∴x2＝－，x＝－，
消去x2得，－＝，∵a>0，∴a＝.
(理)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，经过双曲线的右焦点F且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，若|AB|＝12，求此双曲线方程．
[解析]　∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，
∴b2＝3a2，∴双曲线C的方程为－＝1，
直线AB：y＝(x－2a)．
代入双曲线方程化简得，4x2＋20ax－29a2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－5a，x1x2＝－a2，
由|AB|＝|x1－x2|＝得，
12＝·，∴a2＝1，∴b2＝3，
∴所求双曲线方程为x2－＝1.

一、选择题
11．(文)(2021·绍兴一中期中)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是(　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
[答案]　C
[解析]　设渐近线与实轴所成的角为α，则tanα＝>0，
∴tan2α＝＝＝e2－1∈[1,3]，
∴tanα∈[1，]，∴α∈[，]．
(理)(2021·大连二十中期中)已知点P，A，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA、PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C．2 D．
[答案]　A
[解析]　设A(x1，y1)，则由题意知B(－x1，－y1)，又设P(x0，y0)，PA的中点为M，则
kPA＝，kBP＝kOM＝＝，
∵A、P在双曲线上，∴－＝1，－＝1，两式相减得＝，
∴＝＝kBP·kPA＝，
∴e2－1＝＝，∴e＝.
12．(文)(2021·合肥市第一次质检)双曲线－＝1(a>b>0)的一条渐近线平分圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于(　　)
A. B．2
C. D．
[答案]　A
[解析]　由条件知，圆心C(1,2)在直线y＝x上，
∴＝2，∴＝4，∴e＝，故选A.
(理)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
[答案]　C
[解析]　由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝|AB|＝，
∴|OP|＝.则点P坐标为(，)，
又∵点P在椭圆上，∴＋＝1.①
又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，
解①②得故选C.
13．(2022·重庆理)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C. D．3
[答案]　B
[解析]　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9()2－－4＝0，则(＋1)(－4)＝0，解得＝(＝－舍去)，则双曲线的离心率e＝.
14．(2022·湖北文)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0　　 B．1　　　　
C．2　　 D．3
[答案]　A
[解析]　关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，∴A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtanθ，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±xtanθ，所以直线y＝－xtanθ与双曲线没有公共点，故选A.
二、填空题
15．(文)如图，椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为________．

[答案]　e1<e2<e4<e3
[解析]　在椭圆中，e＝，故越扁越小，e越大，∴e1<e2<1，在双曲线中，e＝，开口越宽敞，越大，∴e越大，∴e3>e4>1，∴e1<e2<e4<e3.
(理)如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦点的双曲线，若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．

[答案]　eM<eP<eN
[解析]　由图知|AB|＝10，经过M，N，P的双曲线的半焦距均为5，由|MB|－|MA|＝7知过点M的双曲线实半轴长为，同理可知过N，P的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知eN>eP>eM.
16．(2022·山东日照模拟)已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．
[答案]　y＝±x
[解析]　设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
代入双曲线方程得y0＝±，
∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)，
∵a>0，b>0，∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
三、解答题
17．(2022·广东肇庆一模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(，0)，离心率e＝，A，B是双曲线上的两点，AB的中点为M(1,2)．
(1)求双曲线C的方程．
(2)求直线AB的方程．
(3)假如线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？
[解析]　(1)依题意得解得a＝1.
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)·(y1＋y2)，
由题意得x1≠x2，x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以＝＝1，即kAB＝1.
故直线AB的方程为y＝x＋1.
(3)假设A，B，C，D四点共圆，且圆心为P.由于AB为圆P的弦，所以圆心P在AB的垂直平分线CD上．
又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.
下面只需证CD的中点M满足|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|即可．
由得A(－1,0)，B(3,4)．
由此可得直线CD方程：y＝－x＋3.
由
得C(－3＋2，6－2)，D(－3－2，6＋2)，
所以CD的中点M(－3,6)．
由于|MA|＝＝2，|MB|＝＝2，
|MC|＝＝2，|MD|＝＝2，
所以|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|，
即A，B，C，D四点在以点M(－3,6)为圆心，2为半径的圆上．
18．(文)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解析]　(1)设双曲线C2的方程为－＝1，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得

∴k2≠且k2<1①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝
由·>2得，xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝
于是>2，即>0，
解此不等式得<k2<3②
由①②得<k2<1，∴<k<1或－1<k<－.
故k的取值范围为∪.
(理)(2021·深圳五校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，A(－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率e＝2.设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线AP、AQ分别与直线x＝交于M、N两点，求证：MF2⊥NF2；
(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A＝λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)由题意可知，a＝1，
∵e＝＝2，∴c＝2.
∵a2＋b2＝c2，∴b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去x得，(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
又直线BP的方程为y＝(x＋1)，代入x＝得，M(，)，
同理，直线AQ的方程为y＝(x＋1)，代入x＝得，N(，)，
∴＝(，－)，＝(，－)，
∴·＝＋＝＋＝＋
＝＋＝－＝0，
∴MF2⊥NF2.
(3)当直线l的方程为x＝2时，解得P(2,3)．
易知此时△AF2P为等腰直角三角形，其中∠AF2P＝，∠PAF2＝，即∠AF2P＝2∠PAF2，也即λ＝2.
下证：∠AF2P＝2∠PAF2对直线l存在斜率的情形也成立．
tan2∠PAF2＝＝
＝＝，
∵x－＝1，∴y＝3(x－1)，
∴tan2∠PAF2＝
＝＝－，
∴tan∠AF2P＝－kPF2＝－＝tan2∠PAF2，
∴结合正切函数在(0，)∪(，π)上的图象可知，∠AF2P＝2∠PAF2.