2022届高三数学人教A版理科一轮复习提素能高效训练-第8章-平面解析几何-8-6.docx

A组考点基础演练一、选择题1(2021年洛阳模拟)已知F1，F2是双曲线x21的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则|PF2|()A6B4C2 D1解析：由题意令|PF2|PF1|2a，由双曲线方程可以求出|PF1|4，a1，所以|PF2|426.答案：A2已知双曲线1(a0，b0)的顶点恰好是椭圆1的两个顶点，且焦距是6，则此双曲线的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x解析：由题意知双曲线中，a3，c3，所以b3，所以双曲线的渐近线方程为yxx.答案：C3(2022年高考广东卷)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等解析：0k0,25k0.1与1均表示双曲线，又25(9k)34k(25k)9，它们的焦距相等，故选A.答案：A4“m0，解得m10，故“m0，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1(明显不符合)，即b2ac，又c2a2b2，所以c2a2ac，两边同除以a2整理得e2e10，解得e或e(舍去)答案：D二、填空题6(2021年海淀模拟)已知双曲线1的一条渐近线为y2x，则双曲线的离心率为_解析：由题意知2，得b2a，ca，所以e.答案：7双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_.解析：由题意知a21，b2，则a1，b . 2，解得m.答案：8(2022年高考浙江卷)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_解析：由得A，由得B，则线段AB的中点为M.由题意得PMAB，kPM3，得a24b24c24a2，故e2，e.答案：三、解答题9求适合下列条件的双曲线方程(1)焦点在y轴上，且过点(3，4)，.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且双曲线经过点P(，2)解析：(1)设所求双曲线方程为my2nx21(m0，n0)，则由于点(3，4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得解方程组得故所求双曲线方程为1.(2)由双曲线的渐近线方程y x，可设双曲线方程为(0)双曲线过点P(，2)，故所求双曲线方程为y2x21.10直线l：y(x2)和双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程解析：(1)设双曲线C：1过一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.由于l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，所以tan 30.于是e211，所以e.(2)由于，于是设双曲线方程为1(k0)，即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中，得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|22 ，求得k21.故所求双曲线方程为y21.B组高考题型专练1(2022年大连双基考试)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足0，|3，|4，则双曲线C的离心率为()A. B.C. D5解析：由双曲线的定义可得2a|1，所以a；由于0，所以，所以(2c)2|2|225，解得c.所以此双曲线的离心率为e5.故D正确答案：D2(2022年高考新课标全国卷)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3C.m D3m解析：由题意，可得双曲线C为1，则双曲线的半焦距c.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y x，即xy0.所以由点到直线的距离公式得d.故选A.答案：A3P是双曲线1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标是()Aa BbCc Dabc解析：如图，内切圆圆心M到各边的距离分别为MA，MB，MC，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|AF1|，|AF2|BF2|，|PC|PB|，|PF1|PF2|CF1|BF2|AF1|AF2|2a，又|AF1|AF2|2c，|AF1|ac，则|OA|AF1|OF1|a.M的横坐标和A的横坐标相同，答案为A.答案：A4(2022年福州质检)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线yx对称，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D2解析：由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y对称，则PF1PF2.又，联立|PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|2(2c)2，可得b3a2b2c2a.所以b2a，e.故选B.答案：B5已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4C.2 D.2解析：|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1|2a2.答案：C6设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为_解析：由于a2b2c2，所以圆x2y2a2b2即为x2y2c2，因此该圆与x轴的交点就是双曲线的两个焦点，而点P是圆与双曲线在第一象限的交点，所以PF1PF2，即(|PF1|)2(|PF2|)2(2c)2，而|PF1|3|PF2|，所以|PF1|c，|PF2|c，又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，所以cc2a，即c2a，于是e.答案：7(2021年南昌模拟)已知双曲线C：1的右焦点为F，过F的直线l与C交于两点A、B，|AB|5，则满足条件的直线l的条数为_解析：(1)若A，B两点都在右支上，当AB垂直于x轴时，a24，b25，c29，F(3,0)，直线AB的方程为x3.由得y.|AB|5，满足题意(2)若A，B两点分别在两支上，a2，两顶点间的距离为2a40，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.摸索究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解析：(1)由于双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又由于OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|得，8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.由于4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又由于m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.