2020-2021学年人教A版高中数学必修2：第四章-圆与方程-单元同步测试.docx

第四章测试
(时间：120分钟　总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析　将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，
化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.
∴两圆的圆心距＝5，
又r1＋r2＝5，∴两圆外切．
答案　C
2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　)
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0
解析　依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得＝，即3x－y－5＝0.
答案　A
3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1 D．－1
解析　圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得＝1，即|a＋2|＝，平方整理得a＝－1.
答案　D
4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，)的切线方程是(　　)
A．x＋y－10＝0 B.x－2y＋10＝0
C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0
解析　∵点M(2，)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝，
∴过点M的切线的斜率为k＝－.
故切线方程为y－＝－(x－2)．
即2x＋y－10＝0.
答案　D
5．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
解析　由题意可设所求的直线方程为y＝－x＋k，则由＝1，得k＝±.由切点在第一象限知，k＝.故所求的直线方程y＝－x＋，即x＋y－＝0.
答案　A
6．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析　点P到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．
答案　A
7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析　∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，∴直线与圆相交．
答案　B
8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析　两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，
O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，
∴|O1O2|＝＝5，r1＋r2＝5.
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．
答案　B
9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
解析　依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，
∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案　A
10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为(　　)
A．9π B．π
C．2π D．由m的值而定
解析　∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，
∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.
∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.
依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.
∴圆的面积S＝π×12＝π.
答案　B
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
解析　设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
答案　C
12．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，] D．(，]
解析　如图所示，曲线y＝1＋

变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，
直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，
当直线l与半圆相切时，有
＝2，解得k＝.
当直线l过点(－2,1)时，k＝.
因此，k的取值范围是<k≤.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．
解析　圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，
∴所求的最小值为4.
答案　4
14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
解析　r＝＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案　(x－1)2＋(y－1)2＝2
15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．
解析　已知方程配方，得(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．
答案　②
16．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于A，B两点，则△AOB(O为坐标原点)的面积为________．
解析　圆心坐标(2，－3)，半径r＝3，圆心到直线x－2y－3＝0的距离d＝，弦长|AB|＝2＝4.又原点(0,0)到AB所在直线的距离h＝，所以△AOB的面积为S＝×4×＝.
答案　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
解　解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1.
即x2＋y2－4x＝0.①
当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，
∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．
解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．
故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．
18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
解　由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．
两圆的方程相减得直线AB的方程为
2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.
∵A，B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．
∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.
解得m＝－1.
故圆M的圆心M(－1，－2)．
19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．

解　把圆的方程都化成标准形式，得
(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图所示，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，|C1C2|＝＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
解　如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.

设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝.
∵|PM|＝|PO|，
∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2.
化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为.
21．(12分)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，
(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求PQ的斜率；
(2)若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；
(3)若N(a，b)满足关系：a2＋b2－4a－14b＋45＝0，求出t＝的最大值．
解　圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8.
(1)点P(m，m＋1)在圆C上，
所以m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4，
故点P(4,5)．
所以PQ的斜率是kPQ＝＝；

(2)如图，点M是圆C上任意一点，Q(－2,3)在圆外，
所以|MQ|的最大值、最小值分别是
|QC|＋r，|QC|－r.
易求|QC|＝4，r＝2，
所以|MQ|max＝6，|MQ|min＝2.
(3)点N在圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上，
t＝表示的是定点Q(－2,3)与圆上的动点N连线l的斜率．
设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
当直线和圆相切时，d＝r，
即＝2，解得k＝2±.
所以t＝的最大值为2＋.
22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.
(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
解　(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.
故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为|k＋1|的圆．
设圆心的坐标为(x，y)，则
消去k，得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．
(2)证明：将原方程变形为
(2x＋4y＋10)k＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0，
∵上式对于任意k≠－1恒成立，
∴
解得
∴曲线C过定点(1，－3)．
(3)∵圆C与x轴相切，
∴圆心(－k，－2k－5)到x轴的距离等于半径．
即|－2k－5|＝|k＋1|.
两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∴k＝5±3.