2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-2-3平面向量的线性运算及综合应用.docx

第3讲　平面对量的线性运算及综合应用

一、填空题
1．(2022·重庆卷改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.
解析　　由于2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
答案　3
2．(2022·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝________.
解析　　由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.
答案　3
3．(2022·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且·＝1，则·＝________.
解析　　依题意，||＝||＝||＝，·＝||||cos ∠AOC＝1，cos ∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝||||cos ∠BAC＝1.
答案　1
4．(2021·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________.
解析　　将·＝4，·＝－12两式相减得·(－)＝2＝16，则||＝4.
答案　4
5．(2022·山东卷)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析　　由A＝，·＝tan A，
得||·||·cos A＝tan A，
即||·||×＝，∴||·||＝，
∴S△ABC＝||·||·sin A＝××＝.
答案　
6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为________．
解析　　由于a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3.所以|c|＝.
又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝ －，设向量c与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.
答案　150°
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2 ，则·＝________.

解析　　法一　　如图建立平面直角坐标系．
由题意知：A(3,0)，B(0,3)，
设M(x，y)，由＝2，

得解得即M点坐标为(2,1)，
所以·＝(2,1)·(0,3)＝3.
法二　　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.
答案　3
8．(2022·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．
解析　　如图，在△AOB中，＝＝×(＋)＝(＋)，
又·＝||||·cos 60°＝6，

∴||||＝12，
∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．∴||≥2，故||的最小值是2.
答案　2
二、解答题
9．(2021·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
(1)证明　由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.
(2)解　由已知条件
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，
又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，
即sin α＝，故α＝或α＝.
当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.
所以，α，β的值分别为，.
10．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)．
(1)当m∥n时，求的值；
(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求
f的取值范围．
解　(1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，
于是tan x＝－，∴＝＝＝－.
(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是 sin(A＋B)＝sin C，
由正弦定理，得sin C＝2sin Asin C，
∵sin C≠0，∴sin A＝.又△ABC为锐角三角形，
∴A＝，于是<B<.
∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1)＝sin2 x＋sin xcos x－2＝＋sin 2x－2＝sin－，
∴f＝sin－＝sin 2B－.由<B<，得<2B<π，
∴0<sin 2B≤1，－<sin 2B－≤－，
即f(B＋)∈.
11．(2022·南京、盐城模拟)如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值．
解　(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，
由于四边形OAQP是平行四边形，
所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)
＝(1＋cos θ，sin θ)．
所以·＝1＋cos θ.
又平行四边形OAQP的面积为
S＝||·||sin θ＝sin θ，
所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin＋1.
又0<θ<π，
所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.
(2)由题意，知＝(2,1)，
＝(cos θ，sin θ)，
由于CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.
又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，
解得sin θ＝，cos θ＝，
所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝.
所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin ＝×－×＝.