2020-2021学年北师大版高中数学必修1：第三章-指数函数和对数函数-单元同步测试.docx

阶段性检测卷三
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
解析　取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lgx＋lgy＝2,2lg(xy)＝2,2lgx＋2lgy＝3,2lg(x＋y)＝2lg11,2lgx·lgy＝1.
答案　D
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A. B．2x－2
C．logx D．log2x
解析　由题意知f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1，
∴a＝2，∴f(x)＝log2x.
答案　D
3．已知f(x)＝log3x，则函数y＝f(x＋1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为(　　)
A．2与1 B．3与1
C．9与3 D．8与3
解析　由f(x)＝log3x，知f(x＋1)＝log3(x＋1)，
又2≤x≤8，∴3≤x＋1≤9.
故1≤log3(x＋1)≤2.
答案　A
4．下列说法正确的是(　　)
A．log0.56>log0.54 B．90.9>270.48
C．2.50<2.5 D ．0.60.5>log0.60.5
解析　∵90.9＝32.7,270.48＝31.44，又y＝3x在(－∞，＋∞)上单调递增，∴32.7>31.44.
答案　B
5．设函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)．若f(x1x2…x2022)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于(　　)
A．4 B．8
C．16 D．2loga8
解析　f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2…x2022)2
＝2loga(x1x2…x2022)＝2×8＝16.
答案　C
6．(log43＋log83)(log32＋log98)等于(　　)
A. B.
C. D．以上都不对
解析　(log43＋log83)(log32＋log98)
＝
＝.
答案　B
7．若f(x)＝log2x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域为(　　)
A. B．[1,2]
C. D.
解析　由－1≤log2x≤1，得≤x≤2.
答案　C
8．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
解析　与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图像，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案　D
9．若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴20＋20·lg a＝0，
∴lg a＝－1，∴a＝.
答案　D
10．某地区植被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4 万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析　逐个检验．
答案　C
二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)
11．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图像必经过点________．
答案　(2,2)
12．函数y＝的定义域是________．
解析　由得
∴定义域为{x|x<3或3<x<4}．
答案　{x|x<3或3<x<4}
13．函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a＝________.
答案　1或－
14．y＝log0.3(x2－2x)的单调减区间为________．
解析　写单调区间留意函数的定义域．
答案　(2，＋∞)
15．若函数f(x)＝为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
解析　由题意得得4≤a<8.
答案　[4,8)
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(12分)计算下列各式
(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(2)0.5＋－2π0；
(3)(lg5)2＋lg2lg5＋lg20－·＋2.
解　(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25
＝(lg2)2＋lg2(lg2＋2lg5)＋2lg5
＝2(lg2)2＋2lg2lg5＋2lg5
＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2.
(2)原式＝＋－2
＝＋－2＝3－2＝1.
(3)原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20－2＋2
＝lg5＋lg2＋1＝2.
17．(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中a>0，a≠1，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)推断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．
解　(1)依题意，得解得－1<x<1.
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．
(2)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
由h(x)>0，即log2(1＋x)－log2(1－x)>0，
得log2(1＋x)>log2(1－x)．
则1＋x>1－x>0，解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．
18．(12分)已知0<a<1，函数f(x)＝loga(6ax2－2x＋3)在上单调递增，求a的取值范围．
解　由题意得得
得<a≤，
故a的取值范围是<a≤.
19．(12分)已知f(x)＝2－logx＋5，A＝{x|2x2－6x＋8≤1}，当x∈A时，求f(x)的最值．
解　由2x2－6x＋8≤1
由二次函数y＝x2－6x＋8的图像可知2≤x≤4.
设logx＝t，∵2≤x≤4，
∴－1≤logx≤－，即－1≤t≤－.
∴f(x)＝t2－t＋5对称轴为t＝，
∴f(x)＝t2－t＋5在单调递减，
故f(x)max＝1＋1＋5＝7，
f(x)min＝2＋＋5＝.
综上得f(x)的最小值为，最大值为7.
20．(13分)已知函数f(x)＝ax＋k(a＞0，且a≠1)的图像过(－1,1)点，其反函数f－1(x)的图像过点(8,2)．
(1)求a，k的值；
(2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数y＝g(x)的图像，写出y＝g(x)的解析式；
(3)若g(x)≥3m－1在[2，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)由题意得　解得
(2)由(1)知f(x)＝2x＋1，得
f－1(x)＝log2x－1，将f－1(x)的图像向左平移2个单位，得到y＝log2(x＋2)－1，再向上平移到1个单位，得到y＝g(x)＝log2(x＋2)．
(3)由g(x)≥3m－1在[2，＋∞)恒成立，
只需g(x)min≥3m－1即可．
而g(x)min＝log2(2＋2)＝2，
即2≥3m－1，得m≤1.
21．(14分)有时可用函数f(x)＝描述学习某科学问的把握程度．其中x表示某学科学问的学习次数(x∈N＋)，f(x)表示对该学科学问的把握程度，正实数a与学科学问有关．
(1)依据阅历，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(100,106]，(106,112]，(112,123]，当学习某学科学问4次时，把握程度为70%，请确定相应的学科；
(2)证明：当x≥7时，把握程度的增大量f(x＋1)－f(x)总是下降．(参考数据e0.04＝1.04)
解　(1)由题意可知0.1＋15ln＝0.70，整理得＝e0.04，得a＝104∈(100,106]，由此可知，该学科是甲学科．
(2)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝，
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增；
且(x－3)(x－4)>0.
故f(x＋1)－f(x)单调递减，
∴当x≥7时，把握程度的增大量f(x＋1)－f(x)总是下降．