《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第四章-第2讲-平面向量基本定理及坐标表示.docx

第2讲平面对量基本定理及坐标表示1平面对量基本定理假如e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底2平面对量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面对量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，abx1y2x2y10做一做1若向量(2，3)，(4，7)，则()A(2，4)B(2，4)C(6，10) D(6，10)答案：A2已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A. B.C. D.答案：D1辨明三个易误点(1)留意能作为基底的两个向量必需是不共线的(2)留意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2有关平面对量的两类本质平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键做一做3已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是()Aa0，be1e2Ba3e13e2，be1e2Cae12e2，be1e2Dae12e2，b2e14e2答案：C4已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，则实数m等于()A B.C或 D0答案：C_平面对量基本定理及其应用_如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，. 解ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.规律方法用平面对量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的状况下，合理地选取基底会给解题带来便利另外，要娴熟运用平面几何的一些性质定理1.设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.由于ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面对量基本定理，得所以答案：_平面对量的坐标运算_已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3，24)(3，4)(0，20)M(0，20)又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，2)(9，18)规律方法平面对量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并留意方程思想的应用2.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_解析：由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)答案：(4，7)_平面对量共线的坐标表示(高频考点)_平面对量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式毁灭，难度较小，属简洁题高考对平面对量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题(1)已知向量a，b(x，1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x的值为()A4B8C0 D2(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_解析(1)a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，明显2ab0，故有(16x，x1)，R，x4(x0)(2)法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4)又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)法二：设点P(x，y)，则(x，y)，由于(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3，3)答案(1)A(2)(3，3)规律方法(1)向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般状况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用推断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值3.(1)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 BkCk1 Dk1(2)(2021河北唐山模拟)设向量a，b满足|a|2，b(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(3)(2022高考陕西卷)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _解析：(1)若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1，2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.(2)b(2，1)，且a与b的方向相反，设a(2，)(0)|a|2，42220，24，2.a(4，2)(3)由于ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.由于0，所以cos 0，得2sin cos ，tan .答案：(1)C(2)(4，2)(3)方法思想求向量中的范围、最值问题(解析法)给定两个长度为1的平面对量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值 解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B.设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得；所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.名师点评本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的学问求出xy的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较简洁解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法争辩向量问题奠定了基础已知|a|b|2，ab，若向量c满足|cab|2，求|c|的取值范围解：由于ab，不妨令a(0，2)，b(2，0)，c(x，y)，由|cab|2，得(x2)2(y2)24，|c|可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P时到原点的距离最远，而POOA222，POOA222，所以22|c|22.1如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()AbaBbaCab Dab解析：选A.ababa.2. (2021宁夏质检)如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A BC D解析：选B.与不共线，与不共线，而与共线，与共线，由平面对量基底的概念知可作为该平面内其他向量的基底3已知向量a(，1)，b(0，2)若实数k与向量c满足a2bkc，则c可以是()A(，1) B(1，)C(，1) D(1，)解析：选D.a(，1)，b(0，2)，a2b(，3)(1，)，故向量c可以是(1，)4已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析：选A.(41，13)(3，4)，则|5.与同方向的单位向量为(3，4).5. (2021长春模拟)设向量e1，e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|2，则()A.e1e2B.e1e2C.e1e2D.e1e2解析：选C.由题意知2，3，()e1e2.6若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_解析：(a1，3)，(3，4)，据题意，4(a1)3(3)，即4a5，a.答案：7在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则_解析：(3，2)，2(6，4)(2，7)，3(6，21)答案：(6，21)8(2021九江模拟)Pa|a(1，1)m(1，2)，mR，Qb|b(1，2)n(2，3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m，12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：(13，23)9已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：A、B、C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)A、B、C三点共线，.8m3(2m1)0，即2m30，m.10. (2021山东莱芜模拟)如图，已知OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为21两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b. (1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值解：(1)由题意知，A是BC的中点，且.由平行四边形法则，得2.22ab，(2ab)b2ab.(2)如题图，.又(2ab)a(2)ab，2ab，.1若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0) B(0，2)C(2，0) D(0，2)解析：选D.a在基底p，q下的坐标为(2，2)，即a2p2q(2，4)，令axmyn(xy，x2y)，即a在基底m，n下的坐标为(0，2)2(2022高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A4，6 B1，1C2，2 D1，1解析：选D.设D(x，y)，则由|1，C(3，0)，得(x3)2y21.又(x1，y)，|.|的几何意义是点P(1，)与圆(x3)2y21上点之间的距离由|PC|知，|的最大值是1，最小值是1.故选D.3设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysin x的图象上运动Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_解析：令Q(c，d)，由新的运算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，消去x得dsin(c)，yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是，答案：，4. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_解析：由题意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D三点共线，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，从而mn(1，0)答案：(1，0)5已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2)当点M在其次或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22)(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线6. (选做题)如图，设Ox，Oy为平面内相交成60角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标若的坐标为(1，1) (1)求|；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使AOB的面积最小，并求出最小值解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.|1，|1，ONP120，|.(2)设|x，|y.mn(mn1)，则mnmxe1nye2.得1.SAOB|sin 60xysin 60xy.由于1，所以2，SAOBxy，当且仅当xy2，即当A(2，0)，B(0，2)时，AOB面积最小，最小值为.