陕西省西安市第一中学2022届高三上学期期中考试数学(文)试题-Word版含答案.docx

西安市第一中学
2021-2022学年度第一学期期中
高三数学(文科)试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于 ( 　)
A．U　　 B．{1,3,5} C．{2,4,6} D．{3,5,6}
2．－870°角的终边在第几象限 (　　)
A．一　 　 B．二　　　 　C．三　　 　D．四
3．命题“，”的否定是 （ ）
A．， B．，
C．， D． ，
4．如图，e1，e2为相互垂直的单位向量，则向量a－b可表示为 (　　)
A．e1－3e2
B．－2e1－4e2
C． 3e2－e1
D．3e1－e2
5．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的外形大致是 (　　)

6．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 (　　)
A．64　　　 　B．49 C．16 D．15　
7．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是 (　　)
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
8．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是 ( 　)
A．8 B．7 C．4 D．2
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 (　　)
A．30°　 B．60° C．120° D．150°
10．如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)
A. B. C. D.
11. 椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若（其中为虚数单位），则是______________．
14．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是______________．
15．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________.
16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．
18．(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱垂直于底
面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E ­ ABC的体积．
20．(本小题满分12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
21．（本小题满分12分）
设函数 ．
(1) 当时,求函数的单调区间；
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22.(选修4—1几何证明选讲) （本小题满分10分）
如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线，CP平分∠，
分别与AE、BE交于点.
求证：(1) ； （2）
23.(选修4─4坐标系与参数方程选讲) （本小题满分10分）
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为
参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．
24.(选修4—5不等式选讲)（本小题满分10分）设函数
（1）求不等式的解集；
（2）若的定义域为R,求实数的取值范围.

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2021-2022学年度第一学期期中
高三数学(文科)答案
一、选择题： DCBAAD CBACBB
二、填空题 13. 14. 8 15.　 16. (0,1)

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17． 函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)的最小正周期为π.
x0＝，y0＝3. ---------------------------------------------------------6
(2)由于x∈[－，－]，所以2x＋∈[－，0]．
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.-----------------------12
18．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解]　(1)设{an}的公比为q，依题意得
解得
因此，an＝3n－1. ------------------------------------------------------------------6
(2)由于bn＝log3an＝n－1，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.---------------------------12
　19． 如图，

在三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E ­ ABC的体积．
(1)[证明]　在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又由于AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.--------------------------------------------------------------------4
(2)[证明]　取AB的中点G，连接EG，FG.

由于E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.
由于AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.
又由于EG平面ABE，C1F⃘平面ABE，
所以C1F∥平面ABE. -----------------------------------------------------------------8
(3)解：由于AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E ­ ABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.----------------------------------------------12
20．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
[解]　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.----------------------------------------------------------------------6
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则
kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．--------------------------------------------------12
21．（本小题满分14分）
设函数 ．
(1) 当时,求函数的单调区间；
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．
【解析】：
(1)当时
,在上单调递增.---------------------------------------------------------6
（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过
-k
k
k
（i）当，即时，，在上单调递增，
从而当时， 取得最小值 ,
当时， 取得最大值.
（ii）当，即时，令
解得：,留意到,
(注：可用韦达定理推断，,从而；或者由对称结合图像推断)

的最小值,

的最大值
综上所述，当时，的最小值,最大值------------12
解法2（2）当时，对，都有，故
故，而 ，
所以 ，

做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
A.选修4－1：几何证明选讲
　　如图所示，为圆的直径，，为
圆的切线，，为切点.
　 （Ⅰ）求证： ；
　 （Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.
解：(I)连接是圆的两条切线， ，
,又为圆的直径，，
,,即得证，
(II),,△∽△，
。

B.选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值.
解：（I）圆的参数方程为（为参数）
所以一般方程为
圆的极坐标方程：
（II）点到直线：的距离为 △的面积
所以△面积的最大值为
C．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）若，解不等式；
（II）假如，求的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，
由得
当时，不等式可化为即，其解集为
当时，不等式化为，不行能成立，其解集为；
当时，不等式化为，其解集为
综上所述，的解集为
（Ⅱ），∴要成立，
则，，
即的取值范围是。