2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-7-3坐标系与参数方程(选做部分).docx

第3讲　坐标系与参数方程

1．(2022·全国新课标卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解　(1)C的一般方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为
(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，
tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线
(t为参数)平行的直线的一般方程．
解　由题意知，椭圆的长半轴长为a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为一般方程得x－2y＋2＝0，故所求的直线的斜率为，因此所求的方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
3．(2010·江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解　将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，
解得a＝－8或a＝2，
故a的值为－8或2.
4．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解　(1)∵C1的参数方程为
∴∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，
即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，
化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
解方程组得或
∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．
∴C1与C2交点的极坐标为，.
5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解　(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，，
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1，
所以解得
6．已知曲线C1：(t为参数)，C2：
(θ为参数)．
(1)化C1、C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．
解　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M.
C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离
d＝|4cos θ－3sin θ－13|.
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.