2020-2021学年高中数学(北师大版-必修一)课时作业-第二章2.3-函数.docx

2．3　映　射

课时目标　1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区分与联系．

1．映射的概念
假如两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有__________元素y与它对应，则称f是集合A到集合B的________．A中的元素称为________，B中的对应元素y称为x的像．
2．一一映射
在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有______的像与之对应；(2)A中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A，B之间的一一映射也叫作________．
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要留意构成函数的两个集合A，B必需是__________．

一、选择题
1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是(　　)
A．A中的每一个元素在B中必有像
B．B中每一个元素在A中必有原像
C．A中的一个元素在B中可以有多个像
D．A中不同元素的像必不同
2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是(　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
3．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是(　　)

4．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是(　　)
A．A＝B＝R，f(x)＝|x|
B．A＝B＝R，f(x)＝
C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3
D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0
5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；
③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；
④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．(　　)
A．3个　2个　1个 B．3个　3个　2个
C．4个　2个　2个 D．2个　2个　1个
6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射，A中元素1在C中的像为________．
8．设f，g都是由A到A的映射，其对应关系如下表：
映射f的对应关系如下：
原像
1
2
3
4
像
3
4
2
1
映射g的对应关系如下：
原像
1
2
3
4
像
4
3
1
2
则f[g(1)]的值为________．
9．已知f是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射f的个数是________．
三、解答题
10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋的像和B中元素－1的原像．

11．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N＋.若x∈A，y∈B，有对应关系f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．

力气提升
12．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的像和B中元素在A中的原像．

13．在下列对应关系中，哪些对应关系是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？
(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应关系f：“加1”；
(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应关系f：“求平方根”；
(3)A＝N，B＝N，对应关系f：“3倍”；
(4)A＝R，B＝R，对应关系f：“求确定值”；
(5)A＝R，B＝R，对应关系f：“求倒数”．

1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．
2．对应、映射、函数三个概念既有区分又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
3．推断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B中的每一个元素是否都有原像，不做要求．

2．3　映　射
学问梳理
1．唯一的一个　映射　原像　2.(1)唯一　(2)像　(3)原像　一一对应
3．函数　非空数集
作业设计
1．A
2．C　[假如从P到Q能表示一个映射，依据映射的定义，对P中的任一元素，依据对应关系f在Q中有唯一元素和它对应，选项C中，当x＝4时，y＝×4＝∉Q，故选C.]
3．D　[选项A、B中的元素2没有像；选项C中1的像有两个；只有D满足映射的定义，故选D.]
4．B　[在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它的对应的数．]
5．C　[①、②、③、④都是映射；②、③是函数；②、④是一一映射，对于①由于有的同学体重可能相等，故①不是一一映射．]
6．B　[由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的像的问题，总共有如图所示的4种可能．]

7.
解析　A中元素1在B中象为2×1－1＝1，
而1在C中象为＝.
8．1
解析　∵g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1.
9．7
解析　　　　　

f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.
10．解　当x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2×(1＋)－1＝0，所以1＋的像是0.
当x2－2x－1＝－1时，x＝0或x＝2.
由于0∉A，所以－1的原像是2.
11．解　由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：
⇒.
故对应关系为f：x→y＝3x＋1.由此推断出A中元素3的象是n4或n2＋3n.若n4＝10，由于n∈N＋，不行能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的像是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的像是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.
12．解　将x＝代入对应关系，
可求出其在B中的对应元素(＋1,3)．
由　得x＝.
所以在B中的像为(＋1,3)，在A中对应的原像为.
13．解　(1)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，明显，对应关系f是A到B的映射，又B中的每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故f：A→B也是一一映射．
(2)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，明显对应关系f不是A到B的映射，故不是一一映射．
(3)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是从A到B的映射，又B中某些元素1、2、4、5……在A中没有原像与之对应，故f：A→B不是一一映射．
(4)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故关系f是从A到B的映射，但对于B中某些元素在A中可能有两个元素与之对应甚至没有原像，故f：A→B不是一一映射．
(5)当x＝0∈A，无意义，故关系f不是从A到B的映射．