2021高中数学北师大版选修1-1学案：《全称量词与存在量词》.docx

第4课时　全称量词与存在量词

1.理解全称量词、存在量词,能够用符号表示全称命题、特称命题,并会推断其真假.
2.对含有量词的命题进行否定,应首先推断此命题是全称命题还是特称命题,也就是要找出语句中的全称量词或存在量词.
3.明确全称命题、特称命题、含有一个量词的命题的否定形式的真假的推断方法,通过生活和数学中的丰富实例,了解数学学问的全面性和对称性.

美国作家马克·吐温除了以宏大的作家而有名,更以他的直言不讳出名.一次,马克·吐温在记者面前说:“有些国会议员是傻瓜!”记者把他说的话,只字未改地登在报纸上.这令国会议员们生气不已,威逼马克·吐温收回那些话,否则要给他好看.这股威逼的力气太强,马克·吐温也不得不让步.几天之后,报纸刊登了马克·吐温的赔礼文:“本人在几天前曾说:‘有些国会议员是傻瓜!’此言经报道后,受到国会议员的猛烈抗议.本人经过认真思考,发觉本人的言论的确有误.于是,本人今日在此声明,修正日前所说的话为:‘有些国会议员不是傻瓜!’”

问题1: 命题中加入了不同的量词,所表达的意思完全不同,前面马克·吐温所说的这句话“有些国会议员是傻瓜”与“全部国会议员是傻瓜”表达的内容不尽相同,而马克·吐温赔礼说的 “有些国会议员不是傻瓜” 并不是对“有些国会议员是傻瓜”的否定,那么“有些国会议员是傻瓜”的否定是 “　　　　　　　　　　”;“有些国会议员不是傻瓜” 的否定是 “　　　　　　　　　　　　　”. 
问题2: 全称量词与存在量词
(1)短语“对全部的”“对任意一个”在规律中通常叫作全称量词.常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”等.
含有全称量词的命题叫作全称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记为　　　　　　　　　　　. 
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在规律中通常叫作存在量词.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
含有存在量词的命题叫作特称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记为　　　　　　　　　　　.  
问题3:(1)如何对含有一个量词的全称命题进行否定?
(2)如何对含有一个量词的特称命题进行否定?
(1)全称命题p:对任意的x∈M,p(x)成立的否定是　　　　　　　　　　. 
(2)特称命题p:存在x∈M,使p(x)成立的否定是　　　　　　　　　　. 
问题4:全称命题的否定是　　　　命题;特称命题的否定是　　　　命题. 
全称命题、特称命题的否定是否定　　　　,而否命题是既否定　　　　又否定　　　　. 

1.下列命题中,不是全称命题的是(　　).
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.肯定存在没有最大值的二次函数
2.以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是(　　).
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使1x>2
3.命题“全部实数的平方都是正数”的否定为　　　　.  
4.推断下列命题的真假.
(1)任意x∈R,都有x2-x+1>12.
(2)存在α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)任意x,y∈N,都有x-y∈N.
(4)存在x,y∈Z,使得2x+y=3.

推断命题是全称命题还是特称命题
下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题?
(1)对任意的n∈Z,2n是偶数;
(2)假如两个数的和为负数,那么这两个数中至少有一个是负数;
(3)矩形是平行四边形;
(4)存在一个实数x,使x2+x+1=0.

含有一个量词的命题的否定及其真假推断
写出下列命题的否定并推断其真假:
(1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)p:有的三角形的三条边相等;
(3)p:菱形的对角线相互垂直;
(4)p:存在x∈N,x2-2x+1≤0.

全称命题与特称命题的应用
是否存在整数m,使得命题“对任意x∈R,m2-m<x2+x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题?
(1)p:全部能被3整除的整数都是奇数;
(2)p:存在x∈R,x2+2x+3≤0;
(3)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(4)p:有的三角形是等边三角形;
(5)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3;
(6)p:有一个素数含有三个正因子.

试写出下列命题的否定,并推断其真假:
(1)命题p:全部的菱形都是正方形.
(2)命题q:对任何实数x,总有x2-2x+1≥0成立.
(3)命题r:至少有一个实数x,使x2-2=0成立.
(4)命题s:存在x∈R,使x2+2x+2≤0成立.

命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

1.下列语句不是全称命题的是(　　 ).
A.模相等的向量是相等向量 B.共线向量所在直线共线
C.在平面对量中,有些向量是共线向量 D.每一个向量都有大小
2.命题“存在x∈Z,x2-2x=0”的否定是(　　 ).
A.任意x∈Z,x2-2x=0 B.存在x∈Z,x2-2x≠0
C.任意x∈Z,x2-2x≠0 D.存在x∈Z,x2-2x>0
3.命题“任意x∈R,存在m∈Z,m2-m<x2+x+1”是　　　　命题.(填“真”或“假”) 
4.写出下列命题的否定,并推断真假:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些三角形是锐角三角形;
(3)对任意的x∈R,有2x+4≥0成立;
(4)存在x∈R,使x2+x=x+2成立.

　　(2022年·湖北卷)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　).
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

　　考题变式(我来改编):

第4课时　全称量词与存在量词
学问体系梳理
问题1:全部国会议员都不是傻瓜　全部国会议员都是傻瓜
问题2:(1)任意x∈M,p(x)　(2)存在x∈M,p(x)
问题3:(1)存在x∈M,使p(x)不成立　(2)对任意的x∈M,p(x)不成立
问题4:特称　全称　结论　结论　条件
基础学习沟通
1.D　D选项是特称命题.
2.B　A中锐角三角形的内角都是锐角,所以是假命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中由于3+(-3)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有1x<0,所以D是假命题.
3.至少有一个实数的平方不是正数　全称命题的否定是特称命题,所以“全部实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.
4.解:(1)真命题.
∵x2-x+1-12=x2-x+12
=(x-12)2+14≥14>0,
∴x2-x+1>12恒成立.
(2)真命题.例如α=π4,β=π2,符合题意.
(3)假命题.例如x=1,y=5,x-y=-4∉N.
(4)真命题.例如x=0,y=3,符合题意.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题.
【小结】识别全称命题与特称命题,关键是找到全称量词和存在量词.
　　探究二:【解析】(1)存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.由于该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,假命题.
(2)全部的三角形的三条边不全相等.假命题.
(3)有的菱形对角线不垂直.假命题.
(4)任意x∈N,x2-2x+1>0.
明显当x=1时,x2-2x+1>0不成立,假命题.
【小结】“菱形的对角线相互垂直”是省略了全称量词“全部的…都…”的全称命题,其否定形式为“存在x∈M,p(x)不成立”.全称命题及其否定真假性相反.特称命题“存在x∈M,p(x)”的否定为“任意x∈M,p(x)不成立”,特称命题及其否定真假性相反.当一个命题的否定的真假不易推断时,可以转化为推断原命题的真假.留意命题所含的量词,没有的要结合命题的含义加上量词,再进行否定,同时留意三条边相等的否定是三条边不全相等.
　　探究三:【解析】假设存在整数m,使得命题是真命题.
由于对任意x∈R,x2+x+1=(x+12)2+34≥34,
因此只需m2-m<34,即-12<m<32.
故存在整数m=0或m=1,使得命题是真命题.
【小结】所谓全称量词,就是在命题中用来表示完全概括的规律用语,含有全称量词的命题叫作全称命题;所谓的存在量词,就是用来表示部分概括的规律用语,含有存在量词的命题叫作特称命题.
思维拓展应用
应用一:(1)(3)(5)是全称命题,(2)(4)(6)是特称命题.
　　应用二:(1)存在一个菱形,它不是正方形.
∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形,
∴是真命题.
(2)存在x∈R,使得x2-2x+1<0.
∵x2-2x+1=(x-1)2≥0对任意x∈R都成立,
∴是假命题.
(3)任意x∈R,x2-2≠0.
∵存在x=±2,使x2-2=0,∴是假命题.
(4)任意x∈R,x2+2x+2>0.
∵x2+2x+2=(x+1)2+1,(x+1)2≥0,∴对任意x∈R,都有x2+2x+2≥1>0.
∴是真命题.
　　应用三:[-3,0]　依题意ax2-2ax-3≤0对任意实数x恒成立,
当a=0时,-3≤0成立;
当a≠0时,由a<0,Δ=4a2+12a≤0,得-3≤a<0.
综上可得-3≤a≤0.
基础智能检测
1.C　依据全称命题的定义以及所含的量词可知,A、B、D为全称命题,C为特称命题.
2.C　特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在x∈Z,x2-2x=0”的否定是“任意x∈Z,x2-2x≠0”,选C.
3.真　由于任意x∈R,x2+x+1=(x+12)2+34≥34,因此只需m2-m<34,即-12<m<32,所以当m=0或m=1时,任意x∈R,m2-m<x2+x+1成立,因此命题是真命题.
4.解:(1)存在一个分数不是有理数,假命题;
(2)全部的三角形都不是锐角三角形,假命题;
(3)存在x∈R,使2x+4<0成立,真命题;
(4)对任意的x∈R,有x2+x≠x+2成立,假命题.
全新视角拓展
B　特称命题的否定,不仅要留意把存在量词改为全称量词,还要将结论否定.