《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第八章-第1讲-直线的倾斜角与斜率、直线的方程.docx

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直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线斜率的计算公式．
2．能依据两条直线的斜率判定这两条直线的位置关系．
3．把握确定直线位置关系的几何要素．
4．把握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．

两直线的位置关系
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2．把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

圆的方程
把握确定圆的几何要素，把握圆的标准方程和一般方程．

直线、圆的位置关系
1.能依据给定直线、圆的方程推断直线与圆的位置关系；能依据给定两个圆的方程，推断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

椭圆
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁的几何性质．

双曲线
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简洁几何性质．

抛物线
把握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简洁几何性质．

曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
(2)倾斜角的范围为[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.
3．直线方程
名称
几何条件
方程
局限性
点斜式
过点(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)
＝
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)
＋＝1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)

[做一做]
1．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0　　　　 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案：A
2．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
答案：1

1．辨明四个易误点
(1)求直线方程时要留意推断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不愿定每条直线都存在斜率．
(2)依据斜率求倾斜角，要留意倾斜角的范围．
(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视推断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.
2．求直线方程的一般方法
(1)直接法：依据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应留意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类争辩．
(2)待定系数法，具体步骤为：
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
[做一做]
3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案：D
4．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：选B.设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π.

__直线的倾斜角与斜率__________________

　(1)经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．－3
C．0 D．2
(2)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)tan ＝＝＝y＋2，
因此y＋2＝－1，y＝－3.
(2)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
[答案]　(1)B　(2)B
[规律方法]　(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：
①求出斜率k＝tan α的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
求倾斜角时要留意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般依据k＝tan α求斜率．
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般依据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
　　　1.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
__求直线的方程(高频考点)________________

直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他学问结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目．
高考中对直线方程的考查主要有以下三个命题角度：
(1)已知两个独立条件，求直线方程；
(2)已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；(见考点一)
(3)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．
　(1)已知直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是(　　)
A．1 B．2
C. D．0
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．
[解析]　(1)直线方程可化为＋＝1，由于a>0，
所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
[答案]　(1)A　(2)3x＋4y＋15＝0
[规律方法]　与直线方程有关问题的解题策略：
(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并留意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必需存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．
(2)求参数值或范围．留意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
　　　2.(1)△ABC的三个顶点为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
①BC所在直线的方程；
②BC边上中线AD所在直线的方程；
③BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．
(2)过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．
解：(1)①由于直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
由两点式得BC所在直线的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
②设BC中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过A(－3，0)，D(0，2)两点，
由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，
即2x－3y＋6＝0.
③BC的斜率k1＝－，
则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，
由点斜式得DE所在直线的方程为2x－y＋2＝0.
(2)解析：由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又由于直线过点(－3，4)，
所以＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
答案：4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0
__直线方程的综合问题__________________

　直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
[解]　依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k)．
|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－
＝5＋≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0.
　在本例条件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．
解：|PA|·|PB|＝ ·
＝－(1＋k2)＝4≥8(k<0)．
∴当且仅当＝－k且k<0，
即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0.
[规律方法]　直线方程的应用问题常见的类型及解法：
(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决．
(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等学问来解决．

方法思想——分类争辩思想在求直线方程中的应用

　　　(2021·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__________________．
[解析]　(1)当截距不为0时，设所求直线方程为
＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵点P(－2，3)在直线l上，
∴－2＋3－a＝0，
∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.
(2)当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，
则有3＝－2k，即k＝－，
此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
[答案]　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
[名师点评]　(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时截距是否为零以及相关位置关系进行分类争辩．
(2)本题对截距是否为0进行分类争辩，易忽视截距为0的状况．
　　　1.若直线过点P(－3，－)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为(　　)
A．3x＋4y＋15＝0
B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3
D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
解析：选D.若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，由于该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
2．过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；
(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，
即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8.
即直线方程为x－y＋8＝0.
答案：y＝－x或x－y＋8＝0

1．(2021·秦皇岛模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.
2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
3．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)

解析：选C.∵x＜0时，ax＞1，∴0＜a＜1.
则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，
在y轴上的截距＞1.故选C.

4．(2021·湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由题意得＋＝1⇒(a－1)(b－3)＝3.
又a∈N*，b∈N*，故有两个解或
5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．
6．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________．
解析：由于直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan 60°＝.又由于直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y＝x＋5.
答案：y＝x＋5
7．(2021·贵州贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解得k<－1或k>.　
答案：(－∞，－1)∪
8．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________．
解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝(a－)2＋，当a＝时，面积最小．
答案：
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，
由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，依据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l的斜率为1；
(2)直线l在x轴上的截距为－3.
解：(1)由于直线l的斜率存在，所以m≠0，
于是直线l的方程可化为y＝－x＋.
由题意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.
由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.

1．(2021·福建泉州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.法一：由于点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，
欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值．
而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．

当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.
∴m2＋n2的最小值为4.
法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，
直线与两坐标轴交于A(，0)，B(0，)，
在Rt△OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，
斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根，
∴S△OAB＝·OA·OB＝AB·h，
∴h＝＝＝2，
∴m2＋n2的最小值为h2＝4.
2．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
解析：依题意得AB的方程为＋＝1.当x＞0，y＞0时，1＝＋≥2＝，即xy≤3(当且仅当x＝，y＝2时取等号)，故xy的最大值为3.
答案：3
3．(2021·江苏苏州调研)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________．

解析：如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．
又kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，
∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k＜0时，≤α＜π.
故倾斜角α的取值范围为α∈∪.
答案：[－1，1]　∪
4．求曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围．
解：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
∵y′＝3x2－1≥－1，∴tan θ≥－1，
∴θ为钝角时，应有θ∈[，π)；
θ为锐角时， tan θ≥－1明显成立．
综上，θ的取值范围是[0，)∪[，π)．
5. 已知直线l过点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0分别交于点A，B(如图)．若线段AB被点P平分，求直线l的方程．

解：∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，
故可设点B的坐标为(a，8－2a)．
∵点P(0，1)是线段AB的中点，
得点A的坐标为(－a，2a－6)．
又∵点A在直线l1：x－3y＋10＝0上，
故将A(－a，2a－6)代入直线l1的方程，
得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.
∴点B的坐标是(4，0)．
因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l的方程为＋＝1，
即x＋4y－4＝0.