《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-7-Word版含解析.docx

直线与抛物线的综合问题 典例(2022新课标全国卷)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆 F的方程；(2)若A，B，F三点在同始终线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值审题视角(1)利用抛物线的定义和几何性质表示出ABD的面积，进而求得P的值和圆F的方程；(2)利用A，B，F三点共线和抛物线的定义得出直线m，n的斜率，再求得两直线的截距之比即为原点到m，n距离的比值解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|p.由于ABD的面积为4，所以|BD|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)由于A，B，F三点在同始终线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知，|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0.解得b.由于m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.解决抛物线综合问题时要重视定义在解题中的应用，机敏处理点点距和点线距之间的相互转化，并留意数形结合思想方法的应用处理直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，留意“设而不求”方法的运用1(2021广东理，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解：(1)依题意，设抛物线C的方程为x24cy，由结合c0，解得c1.所以抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0)2所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.