2022届数学一轮(文科)北师大版课时作业-第三章-导数及其应用-探究课二.docx
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1、 (建议用时:80分钟)1已知函数f(x)ln xx2ax(aR)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围解法一函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.函数f(x)在(0,)上单调递增,f(x)0,即2xa0对x(0,)都成立a2x对x(0,)都成立当x0时,2x22,当且仅当2x,即x时取等号a2,即a2.a的取值范围为2,)法二函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xx2ax,f(x)2xa.方程2x2ax10的判别式a28.当0,即2a2时,2x2ax10,此时,f(x)0对x(0,)都成立,故函数f(x)在定义域(0,)上是增函数当0
2、,即a2或a2时,要使函数f(x)在定义域(0,)上为增函数,只需2x2ax10对x(0,)都成立设h(x)2x2ax1,则解得a0.故a2.综合得a的取值范围为2,)2(2021南山中学月考)已知函数f(x)sin x(x0),g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a取(1)中的最小值时,求证:g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0),则h(x)cos xa.若a1,h(x)cos xa0,h(x)sin xax(x0)单调递减,h(x)h(0)0,则sin xax(x0)成立若0a0,h(x)sin xax(x(0,x0)单调
3、递增,h(x)h(0)0,不合题意当a0,结合f(x)与g(x)的图像可知明显不合题意综上可知,a1.(2)证明当a取(1)中的最小值为1时,g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0),则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2,则G(x)sin xx0(x0),所以G(x)1cos xx2在0,)上单调递减,此时G(x)1cos xx2G(0)0,即H(x)1cos xx20,所以H(x)xsin xx3在x0,)上单调递减所以H(x)xsin xx3H(0)0,则xsin xx3(x0)所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)f(x)x3.3(2022湖北
4、七市(州)联考)已知函数f(x)x3x2axa,xR,其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0,得x1或xa(a0)当x变化时,f(x),f(x)的变化状况如下表:x(,1)1(1,a)a(a,)f(x)00f(x)极大值微小值故函数f(x)的单调递增区间是(,1),(a,);单调递减区间是(1,a)(2)由(1)知f(x)在区间(2,1)内单调递增,在区间(1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.4(2
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