(人教A版)数学必修1同步测试：第二章-基本初等函数(I)3-Word版含答案.docx

其次章　2.3
基础巩固
一、选择题
1．(2021·全国高考山东卷文科，3题)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．b<c<a
[答案]　C
[解析]　∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.
2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x
[答案]　B
[解析]　函数y＝x，y＝x3，y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的全部α的值为(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
[答案]　A
[解析]　函数y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，函数y＝x的定义域是[0，＋∞)，函数y＝x和y＝x3的定义域为R且为奇函数．
4．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．0或1
[答案]　A
[解析]　由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0，故选A.
5．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　　)

[答案]　C
[解析]　直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠.故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．
6．(2010·安徽文，7)设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[答案]　A
[解析]　对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故()<()，即b<c.
对a和c，∵幂函数．y＝x在(0，＋∞)上单调递增，
∴()>()，即a>c，∴a>c>b，故选A.
二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
[答案]　f(x)＝x－1
[解析]　∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1＜0，解得－1＜m＜1；
∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
8．(2021·海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．
①y＝x；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－x.
[答案]　③
[解析]　①中函数y＝x不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x是奇函数．故填③.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
[解析]　(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
10．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．
[解析]　(1)由于f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，
由于f(x)的定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，
由于x1＞x2＞0，
所以x1－x2＞0,1＋＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．
力气提升
一、选择题
1．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．n＜m＜0 B．m＜n＜0
C．n＞m＞0 D．m＞n＞0
[答案]　A
[解析]　由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以m＜0，n＜0.
2．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案]　C
[解析]　幂函数y＝x，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C.
3．函数y＝x的图象是(　　)

[答案]　B
[解析]　明显代数表示式“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，故选B.
4．(2021·山东临沂期末)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(log216)＝(　　)
A．2 B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝，f(log216)＝f(4)＝＝2，故选A.
二、填空题
5．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．
[答案]　(3,5)
[解析]　∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，
∴解得∴3＜a＜5.
6．若a＝()，b＝()，c＝()，则a、b、c的大小关系是________．
[答案]　b＜a＜c
[解析]　设f1(x)＝x，则f1(x)在(0，＋∞)上为增函数，∵＞，∴a＞b.又f2(x)＝()x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴a<c.
三、解答题
7．幂函数f(x)的图象经过点(，2)，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)x为何值时f(x)＞g(x)？x为何值时f(x)＜g(x)?
[解析]　(1)设f(x)＝xα，则()α＝2，
∴α＝2，∴f(x)＝x2，
设g(x)＝xβ，则(－2)β＝，
∴β＝－2，∴g(x)＝x－2(x≠0)．
(2)从图象可知，当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；

当－1＜x＜0或0＜x＜1时，
f(x)＜g(x)．
8．(2021·温州联考)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
∴f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．