【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第2章-第5节-对数与对数函数.docx

其次章　第五节

一、选择题
1．(2022·四川泸州一诊)2lg2－lg的值为(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．4
[答案]　B
[解析]　2lg2－lg＝lg(22÷)＝lg100＝2，故选B.
2．(文)为了得到函数y＝ln的图象，只需把函数y＝lnx的图象上全部的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[答案]　D
[解析]　由y＝ln得到y＝ln(x－3)－1，由y＝lnx图象上全部点向右平移3个单位，得到y＝ln(x－3)的图象，再向下平移一个单位得到y＝ln(x－3)－1的图象．故选D.
(理)(2021·江苏无锡)函数y＝log2的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案]　A
[解析]　由>0得－2<x<2，f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴选A.
3．(文)(2021·湖北省教学合作十月联考)已知a＝()，b＝log5，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
[答案]　B
[解析]　a＝()＝<；c＝＝log53>log5＝；b＝log5<log51＝0，故c>a>b.
(理)(2021·湖南模拟)下面不等式成立的是(　　)
A．log32<log23<log25
B．log32<log25<log23
C．log23<log32<log25
D．log23<log25<log32
[答案]　A
[解析]　log32<1<log23<log25，故选A.
比较对数式的值大小的方法：
①利用中间量0、1.
(2022·河北石家庄一模)已知a＝3，b＝，c＝log2，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
[答案]　A
[解析]　由于3>1,0<<1，c＝log2<0，
所以a>b>c，故选A.
②指数互化
(2022·湖北省重点中学联考)∀α∈(，)，x＝，y＝，则x与y的大小关系为(　　)
A．x>y B．x<y
C．x＝y D．不确定
[答案]　C
[解析]　由于logπx＝logπsinαlogπcosα，logπy＝logπsinα·logπcosα，所以logπx＝logπy，所以x＝y，故选C.
③作差法
(2022·山东临沂市重点中学月考)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则(　　)
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
[答案]　C
[解析]　由于x＝(e－1,1)，所以－1<a＝lnx<0，而b－a＝lnx<0，故b<a，而c－a＝(ln2x－1)·lnx>0，故c>a，综上b<a<c.
④化同真借助图象
(2021·新课标Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
[答案]　D
[解析]　本题考查了对数的运算性质．
∵a＝log36＝1＋log32；
b＝log510＝1＋log52；
c＝log714＝1＋log72.
∵log32>log52>log72，∴a>b>c.
⑤用单调性
(2022·吉林长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
[答案]　B
[解析]　由于f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．
又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．
⑥转化法
若函数f(x)＝log2(x＋1)且a>b>c>0，则、、的大小关系是(　　)
A.>> B.>>
C.>> D．>>
[答案]　B
[解析]　∵、、可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图象及a>b>c>0可知>>.故选B.
⑦综合法
(2021·宣城二模)若a＝，b＝ln2·ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>a>c
[答案]　A
[解析]　∵ln6>lnπ>1，∴a>c，排解B，C；b＝ln2·ln3<()2＝＝a，排解D，故选A.
4．(文)(2022·云南统一检测)已知f(x)＝，则f(x)≥－2的解集是(　　)
A．(－∞，－]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－]∪(0,4]
C．[－，0)∪[4，＋∞)
D．[－，0)∪(0,4]
[答案]　B
[解析]　当x<0时，f(x)≥－2，即≥－2，可转化为1＋x≤－2x，得x≤－；
当x>0时，f(x)≥－2，即x≥－2，可转化为x≥4，解得0<x≤4.
综上可知不等式的解集为(－∞，－]∪(0,4]．
(理)(2022·宁夏银川质检)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]　C
[解析]　f(a)>f(－a)化为
或
∴a>1或－1<a<0，故选C.
5．(2022·安徽皖南八校第一次联考)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－1)}，B＝{y|y＝()x－1}，则A∩B＝(　　)
A．(，1) B．(1,2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　A＝{x|y＝log2(x2－1)}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B＝{y|y＝()x－1}＝{y|y>0}，∴A∩B＝{x|x>1}．
6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2022x＋log2022x，则方程f(x)＝0的实根的个数为(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．5
[答案]　C
[解析]　当x>0时，f(x)＝0即2022x＝－log2022x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2022x，f2(x)＝－log2022x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又由于f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.
二、填空题
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
[答案]　
[解析]　∵2a＝5b＝m，
∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m＝.
8．(文)(2022·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．假照实数t满足f(lnt)＋f(ln)≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
[答案]　[，e]
[解析]　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln)，由f(lnt)＋f(ln)≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故≤t≤e.
(理)(2022·浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，|f(1)|>2，f(2)＝loga4(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
[答案]　<a<1或1<a<2
[解析]　由条件知，|f(1)|＝|f(－1)|＝|f(2)|＝|loga4|>2，
∴loga4>2或loga4<－2，
∴1<a<2或<a<1.
9．(2022·广东韶关调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(1，＋∞)
[解析]　如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f(x)，y2＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a>1时，直线y2＝－x＋a与y1＝log2x只有一个交点．

三、解答题
10．(2022·江西南昌其次中学第一次月考)已知f(x)＝ (x2－mx－m)．
(1)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)设g(x)＝x2－mx－m，要使得函数f(x)的值域为R，则g(x)＝x2－mx－m能取遍全部的正数，则有(－m)2－4×(－m)≥0，解得m≥0或m≤－4.
(2)函数f(x)＝ (x2－mx－m)的底数是，那么若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，则函数g(x)＝x2－mx－m在区间(－∞，1－)上是减函数，则有
解得2－2≤m≤2.

一、选择题
11．(2021·山西省忻州一中等四校联考)已知函数f(x)＝，若对于任意x∈R，不等式f(x)≤－t＋1恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[1,3] D．(－∞，2]∪[3，＋∞)
[答案]　B
[解析]　当x≤1时，y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，在(－∞，]上递增，在(，1]上递减，故此时ymax＝f()＝；当x>1时，y＝log0.5x是减函数，此时y<log0.51＝0；综上知函数f(x)的最大值为，故不等式f(x)≤－t＋1恒成立，只需－t＋1≥即可，解得t≤1或t≥3.故选B.
12．(文)(2021·江西省七校联考)设a＝0.64.2，b＝70.6，c＝log0.67，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c<b<a B．c<a<b
C．a<c<b D．a<b<c
[答案]　B
[解析]　依题意，0<0.64.2<0.60＝1,70.6>70＝1，log0.67<log0.61＝0，因此c<a<b，选B.
(理)(2021·天津模拟)设a，b，c均为正数，且2a＝a，()b＝b，()c＝log2c，则(　　)
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
[答案]　A
[解析]　由2a＝a可知a>0⇒2a>1⇒a>1⇒0<a<；由()b＝b可知b>0⇒0<()b<1⇒0<b<1⇒<b<1；由()c＝log2c可知c>0⇒0<()c<1⇒0<log2c<1⇒1<c<2，从而a<b<c.∴选A.
[点评]　比较一组幂式、对数式形式的数的大小步骤：
第一步：判正负，把正数与负数区分开；
其次步：正数与1比较，找出大于1的数和小于1的数，负数转化为比较其确定值的大小；
第三步：构造函数，利用函数单调性或图象比较，底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要留意指对互化的机敏运用．
第四步：下结论．
13．(2021·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x ，y＝(x－1)2，y＝x3中有3个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝有2个实数根，其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．4
[答案]　C
[解析]　命题①中，在(0，＋∞)上只有y＝x，y＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31>log3m>log3n，故0<n<m<1，②正确；③中函数y＝f(x－1)的图象是把y＝f(x)的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，故函数y＝f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x－2＝时，x＝2＋log3<2，当log3(x－1)＝时，x＝1＋>2，故方程f(x)＝有2个实数根，④正确．故选C.
14．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为(　　)
A．4　　 B．3　　　　
C．2　　 D．1
[答案]　C
[解析]　由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x
＝则令1－ln2x＝0⇒x＝e或x＝(舍去)；令－ln2x＝0⇒x＝1；
当－1－ln2x＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x有两个零点，故选C.
二、填空题
15．(2022·河南郑州模拟)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)＝________.
[答案]　－2
[解析]　由题意y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，令f(3)＝a，则点(a,3)必在函数y＝2－x－1的图象上，所以2－a－1＝3，解得a＝－2，即f(3)＝－2.
16．(文)(2021·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞)，则m的值为________．
[答案]　－1
[解析]　由题意得，g(x)的值域为[e，＋∞)，由x≥e时，g′(x)＝1＋>0，所以当x≥e时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1.
(理)(2022·山东郯城一中月考)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝则函数f(x)＝ (3x－2)*log2x的值域为________．
[答案]　(－∞，0]
[解析]　易知函数f(x)的定义域为(，＋∞)，在同始终角坐标系中画出函数y＝ (3x－2)和y＝log2x的图象，

由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，
∴由图象可得f(x)＝的值域为(－∞，0]．
三、解答题
17．(文)(2022·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．
[解析]　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.
(理)(2021·大连二十四中期中)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率．
(2)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．
[解析]　(1)∵a＝2，∴f(x)＝2x＋lnx，∴f ′(x)＝2＋，∴f ′(1)＝3，故y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3.
(2)由条件知，f(x)max<g(x)max.
∵g(x)＝x2－2x＋2，x∈[0,1]，∴g(x)max＝g(0)＝2，
当a≥0时，f(x)＝ax＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故无最大值，不合题意．
当a<0时，∵f ′(x)＝a＋；当x∈(0，－)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝－时取到极大值，f(－)＝－1－ln(－a)．也是f(x)的最大值，
∴－1－ln(－a)<2，∴a<－.
18．(文)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．
[解析]　(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，

∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，
即log4＝－4kx，
∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，
对一切x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x
＝log4＝log4(2x＋)，
∵2x>0，∴2x＋≥2，∴m≥log42＝.
故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．
(理)(2022·四川资阳二诊)设函数f(x)＝log4(4x＋1)＋ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；
(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2，1]恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，得f(x)＝f(－x)恒成立，
即log4(4x＋1)＋ax＝log4(4－x＋1)－ax，
所以2ax＝log4＝log4＝－x，
所以(2a＋1)x＝0恒成立，
则2a＋1＝0，故a＝－.
(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4x＋1)＋ax＋log4(4－x＋1)－ax＝log4(4x＋1)＋log4(4－x＋1)＝log4[(4x＋1)·(4－x＋1)]＝log4(2＋4x＋4－x)≥log4(2＋2)＝1.
所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt＋m，
由解得－1≤m≤，故实数m的取值范围是[－1，]．