【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.7.docx

第九章 9.7第7课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．22或2　　　　B．7　　　　C．22　　　　D．2
答案　A
解析　由对称性，不妨设点在右支上，①若12为到右焦点的距离，则所求为12＋2a＝22；②若12为到左焦点的距离，则所求为12－2a＝2，故本题答案为A.
2．已知二次曲线＋＝1，则当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
答案　C
解析　∵m∈[－2，－1]，∴曲线为双曲线，即－＝1.∴c2＝4－m.∴e2＝＝＝1－∈[，]．∴e∈[，]，故选C.
3．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
答案　B
解析　在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解题h＝.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是(　　)
A．a B．b
C. D.
答案　B
解析　圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以r＝＝b.
5．某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(－2,2)，B(，－)，则(　　)
A．曲线C可为椭圆也可为双曲线
B．曲线C确定是双曲线
C．曲线C确定是椭圆
D．这样的曲线C不存在
答案　B
解析　设此曲线方程为mx2＋ny2＝1，(m≠0，n≠0)
∴解之，得
曲线C为双曲线x2－＝1.
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　由题意知2b＝2,2c＝2，所以b＝1，c＝，a＝＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选C.
二、填空题
7．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
答案　1
解析　－＝1的渐近线方程为y＝±bx，∵y＝±x，∴b＝，∴b＝1.
8．等轴双曲线x2－y2＝1上一点P与两焦点F1、F2连线相互垂直，则△PF1F2的面积为________．
答案　1
解析　设P(x0，y0)，则x0－y0＝1①
＝(－－x0，－y0)，　＝(－x0，－y0)
∵·＝0, ∴x0－2＋y0＝0②
由①②解得|y0|＝
∴S△PF1F2＝·|F1F2|·|y0|＝1
9．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为________．
答案　＋1
解析　设正三角形MF1F2的边MF1的中点为H，
则M(0，c)，F1(－c,0)．
所以H(－c，c)，H点在双曲线上，
故－＝1，
化简e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2，所以e＝＋1.
10．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________.
答案　0
解析　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴＝1，即b＝，∴双曲线方程为－＝1，焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，∵点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝0.
11．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率e为________．
答案　或
解析　设m>0，n>0，
∴＝，∴＝.∴＝.∴e＝.
设m<0，n<0.则－＝1，∴＝.
∴＝.∴＝.∴＝.∴e＝.
∴双曲线的离心率为或.
12．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
答案　(±4,0)　x±y＝0.
解析　椭圆的焦点坐标是(±4,0)，这也是双曲线的焦点坐标．对于此双曲线，依据＝2且c＝4，得a＝2，故b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x，即x±y＝0.
三、解答题
13．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．
解析　法一：①当焦点在x轴上时，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
因渐近线的方程为y＝±x，
并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴，解得，
∴双曲线的方程为－＝1.
②当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，因渐近线的方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴，解得.
∴双曲线的方程为－＝1.
综上，双曲线的方程为－＝1和－＝1.
法二：设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ(λ≠0)，
从而有()2＋()2＝100，
解得λ＝±576，
∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.
14.

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
解析　设双曲线的方程为－＝1
∴F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2，
∴|PF1|·|PF2|·sin＝2.
∴|PF1|·|PF2|＝8.
∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(，)．
(1)求该双曲线方程；
(2)过点F作直线l2交该双曲线于M，N两点，假如|MN|＝4，求直线l2的方程．
解析　(1)设F(c,0)，l1：y＝x，PF：y＝－(x－c)．
解方程组，得P(，)，
又已知P(，)，故解得a＝1，b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)若直线l2垂直于x轴，交双曲线于M，N.
由(1)得右焦点为F(，0)，
将x＝代入x2－＝1，得y＝±2，
所以|MN|＝4，
若直线l2不垂直于x轴，设MF：y＝k(x－)，
代入x2－＝1，得2x2－k2(x－)2＝2，
整理，得(2－k2)·x2＋2k2x－3k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
假如M，N两点均在双曲线的右支上，则k2>2；
假如M，N两点在双曲线的两支上，则k2<2.
又若M，N两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M，N两点只可能分别在双曲线的两支上，
此时，设M (x1，y1)，N(x2，y2)，
|MN|＝||NF|－|MF||＝[(－x2)－(x1－)]，
所以4＝2－(x1＋x2)，
即＝－2，k＝±，
所以所求直线l2的方程为
x＝或y＝±(x－)．

拓展练习·自助餐

1．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为(　　)
A．－a B．a
C．－c D．c
答案　B
解析　如图所示内切圆与三条边的切点分别为A、B、C，由切线性质F1C＝F1A，PC＝PB，F2A＝F2B

由双曲线定义知，PF1－PF2＝2a
即(PC＋CF1)－(PB＋BF2)＝2a
∴CF1－BF2＝2a即F1A－F2A＝2a
∵F1A＋F2A＝2c.∴F1A＝a＋c.∴A(a,0)．选B.
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．
答案　－
3．下列曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　∵e＝，c2＝a2＋b2，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝，故选B.
4．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
答案　B
解析　由题意得双曲线－＝1的离心率e＝＝，又a>1，∴<e<.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F(2,0)，点P为双曲线上一点，·＝0，·＝.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线上有两个不同点M，N，点E(0，－1)，当＝λ(3,1)且||＝||时，求△MON的面积(O为原点)．
解析　(1)由·＝0得PF⊥A1A2，
∴P(c，)(不妨设P在x轴上方)，
又A1(－a,0)，A2(a,0)，
＝(－a－c，－)，＝(a－c，－)，
∴·＝c2－a2＋＝b2(1＋)＝b2·＝.
又∵c2＝4，∴，∴，
∴双曲线方程为－y2＝1.
(2)由＝λ(3,1)可知直线MN的斜率为k＝，
设直线MN：y＝x＋m，
与x2－3y2＝3联立整理得2x2－6mx－9m2－9＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝3m，x1x2＝－.
设MN的中点为G(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝x0＋m＝.
由||＝||得MN⊥EG，
∴kMN·kEG＝－1，
∴×＝－1，∴m＝－，
此时x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|MN|＝
＝
＝，
又点O到直线MN的距离为d＝＝，
∴S△MON＝×d×|MN|＝××＝.