【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第2章-第1节-函数及其表示.docx
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其次章 第一节 一、选择题 1.(文)若函数f(x)的定义域是[0,4],则函数g(x)=的定义域是( ) A.[0,2] B.(0,2) C.(0,2] D.[0,2) [答案] C [解析] ∵∴0<x≤2,故选C. (理)(2021·湖北荆门期末)函数f(x)=ln(+)的定义域为( ) A.(-∞,-4]∪(2,+∞) B.(-4,0)∪(0,1) C.[-4,0)∪(0,1] D.[-4,0)∪(0,1) [答案] D [解析] 要使函数f(x)有意义, 必需且只需 解得-4≤x<0或0<x<1.故选D. 2.(文)设函数f(x)=则f(f(3))=( ) A. B.3 C. D. [答案] D [解析] 由条件知f(3)=, f(f(3))=f()=()2+1=. (理)已知函数f(x)=则f(2022)等于( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 [答案] B [解析] f(2022)=f(2021)=f(2010)=……=f(0)=2×0+1=1. 3.(2021·银川模拟)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) [答案] A [解析] 由题意知f(1)=3,故原不等式可化为 或解之得-3<x<1或x>3, ∴原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选A. 4.(文)(2022·长春市调研)下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是( ) A.y=x2 B.y=-x3 C.y=-lg|x| D.y=2x [答案] C [解析] 四个函数中,是偶函数的有A,C,又y=x2在(0,+∞)内单调递增,故选C. (理)(2022·吉林市质检)下列函数中,在定义域内既是奇函数又为增函数的是( ) A.y=()x B.y=sinx C.y=x3 D.y=x [答案] C [解析] A、D中的函数为非奇非偶函数,B中函数在定义域内既有增区间又有减区间,y=x3在定义域(-∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,故选C. 5.(文)函数f(x)=的值域是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) [答案] D [解析] =2x-1-1>-1,结合反比例函数的图象可知f(x)∈(-∞,-1)∪(0,+∞). (理)若函数y=f(x)的值域是[,3],则函数F(x)=f(x)+的值域是( ) A.[,3] B.[2,] C.[,] D.[3,] [答案] B [解析] 令t=f(x),则≤t≤3,由函数g(t)=t+在区间[,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数,且g()=,g(1)=2,g(3)=,可得值域为[2,],选B. 6.已知a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f是M到N的映射,f(x)=x,则a+b的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 [答案] C [解析] ∵f(x)=x,∴f(1)=1=a,若f()=1,则有=1,与集合元素的互异性冲突, ∴f()=0,∴b=0,∴a+b=1. 二、填空题 7.(文)函数y=的定义域是________. [答案] (-3,2) [解析] 由6-x-x2>0,得x2+x-6<0, 即{x|-3<x<2}. (理)(2021·福州模拟)函数f(x)=-的定义域为________. [答案] (-∞,-1)∪(-1,1] [解析] ∵要使函数f(x)=-有意义, ∴∴ ∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}. [失误与防范] 本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)=(x+1)-后求定义域,会误认为其定义域为(-∞,1].事实上,上述化简过程扩大了自变量x的取值范围. 防范错误的有效方法是每一步变形时观看一下是否为等价变换,否则应附加限制条件保持等价. 8.(文)假如函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+…f(2022)+f()+f()+…+f()的值为________. [答案] 0 [解析] 由于f(x)+f()=+=+=0,f(1)=0,故该式值为0. (理)规定记号“⊕”表示一种运算,且a⊕b=+a+b+1,其中a、b是正实数,已知1⊕k=4,则函数f(x)=k⊕x的值域是________. [答案] (2,+∞) [解析] 1⊕k=+k+2=4,解之得k=1, ∴f(x)=+x+2,由于“⊕”的运算对象是正实数,故x>0,∴f(x)>2. 9.已知f(x-2)=则f(1)=________. [答案] 10 [解析] f(1)=f(3-2)=1+32=10. 三、解答题 10.(文)函数f(x)=x2+x-. (1)若定义域为[0,3],求f(x)的值域; (2)若f(x)的值域为[-,],且定义域为[a,b],求b-a的最大值. [解析] ∵f(x)=(x+)2-, ∴对称轴为x=-. (1)∵3≥x≥0>-, ∴f(x)的值域为[f(0),f(3)], 即[-,]. (2)∵x=-时,f(x)=-是f(x)的最小值, ∴x=-∈[a,b],令x2+x-=, 得x1=-,x2=, 依据f(x)的图象知当a=-,b=时,b-a取最大值-(-)=. (理)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x2-2)的值域. [解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 又f(0)=0,∴c=0,即f(x)=ax2+bx. 又f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, ∴解得∴f(x)=x2+x. (2)由(1)知y=f(x2-2)=(x2-2)2+(x2-2) =(x4-3x2+2)=(x2-)2-, 当x2=时,y取最小值-. ∴函数y=f(x2-2)的值域为[-,+∞). 一、选择题 11.(文)函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的全部可能值为( ) A.1 B.1,- C.- D.1, [答案] B [解析] f(1)=1, 当a≥0时,f(a)=ea-1,∴1+ea-1=2, ∴a=1, 当-1<a<0时,f(a)=sin(πa2), ∴1+sin(πa2)=2, ∴πa2=+2kπ(k∈Z), ∵-1<a<0,∴a=-,故选B. (理)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,3) C.[,3) D.(1,3) [答案] D [解析] 解法1:由f(x)在R上是增函数, ∴f(x)在[1,+∞)上单增,由对数函数单调性知a>1,① 又由f(x)在(-∞,1)上单增,∴3-a>0,∴a<3,② 又由于f(x)在R上是增函数,为了满足单调区间的定义,f(x)在(-∞,1]上的最大值3-5a要小于等于f(x)在[1,+∞)上的最小值0,才能保证单调区间的要求, ∴3-5a≤0,即a≥,③ 由①②③可得1<a<3. 解法2:令a分别等于、0、1,即可排解A、B、C,故选D. [点评] f(x)在R上是增函数,a的取值不仅要保证f(x)在(-∞,1)上和[1,+∞)上都是增函数,还要保证x1<1,x2≥1时,有f(x1)<f(x2). 12.(2022·乌鲁木齐地区诊断)若a=,b=,c=,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c [答案] B [解析] 解法1:-==<0, ∴a<b -==<0,∴c<a, ∴c<a<b. 解法2:设f(x)=(x>1),则f ′(x)=,当x>e时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,∴f(3)>f(4)>f(5), ∴>>,∴>>,∴b>a>c. 13.(2022·辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象( ) A.y=2x-x2-1 B.y= C.y=(x2-2x)ex D.y= [答案] C [解析] 由图象可知,x<0时,函数值恒大于0,排解A、B、D,故选C. 14.(2022·吉林省九校联合体摸底)已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( ) A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49) [答案] C [解析] ∵y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)是奇函数,又∵y=f(x)是增函数, ∴不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0⇔f(x2-6x+21)<f(8y-y2)⇔x2-6x+21-8y+y2<0⇔(x-3)2+(y-4)2<4. 即点(x,y)是以(3,4)为圆心,以2为半径的圆内的点,如图 当x>3时,点(x,y)是右半圆内部分,x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,∵A(3,2),C(3,4), ∴|OA|2=13,|OC|2=25,∴|OB|=7,∴13<x2+y2<49. 二、填空题 15.(文)函数f(x)=若f(x0)=1,则x0的值为________. [答案] -1或1 [解析] 当x0≤0时,f(x0)=2-x0-1,∵f(x0)=1, ∴2-x0-1=1,∴2-x0=2,∴x0=-1;当x0>0时,f(x0)=,∵f(x0)=1,∴=1,∴x0=1. 综上可得x0的值为-1或1. (理)(2021·四川省内江市第一次模拟)设函数f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有________. ①函数f(x)在R上有最小值; ②当b>0时,函数在R上是单调增函数; ③函数f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④当b<0时,方程f(x)=0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>4|c|; ⑤方程f(x)=0可能有四个不同实数根. [答案] ②③④ [解析] f(x)= 取b=0知,①⑤错; 简洁推断②,③正确;b<0时,方程f(x)=0有三个不同实数根,等价于c-<0且c+>0,∴b2>4c且b2>-4c,∴b2>4|c|,故填②、③、④. 三、解答题 16.(文)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:元)与日产量x(单位:t)满足函数关系式C=10 000+20x,每日的销售额R(单位:元)与日产量x的函数关系式为R= 已知每日的利润y=R-C,且当x=30时,y=-100. (1)求a的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. [解析] (1)∵当x=30时,y=-100, ∴-100=-×303+a×302+270×30-10 000, ∴a=3. (2)当0<x<120时,y=-x3+3x2+270x-10 000. 令y′=-x2+6x+270=0, 可得:x1=90,x2=-30(舍去), 所以当x∈(0,90)时,原函数是增函数,当x∈(90,120)时,原函数是减函数. ∴当x=90时,y取得极大值14 300. 当x≥120时,y=10 400-20x≤8 000. 所以当日产量为90t时,每日的利润可以达到最大值14 300元. (理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示: 该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示: 第t天 5 15 20 30 Q(件) 35 25 20 10 (1)依据供应的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式; (2)在所给直角坐标系中,依据表中供应的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式; (3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量) [解析] (1)P= (2)图略,Q=40-t(t∈N*). (3)设日销售金额为y(元), 则y= 即y= 若0<t<25(t∈N*),则当t=10时,ymax=900; 若25≤t≤30(t∈N*),则当t=25时,ymax=1125. 由1125>900,知ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为1125元,30天中的第25天的日销售金额最大. 17.(文)(2022·湖北武汉联考)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论. [解析] (1)令x1=x2=1,则f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1), 又∵f(1)=0,∴2f(-1)=0,∴f(-1)=0. 令x1=x,x2=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)在定义域D上为偶函数. (理)(2022·河北石家庄质检)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有>0成立. (1)推断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明; (2)解不等式f(x+)<f(); (3)若f(x)≤m2-2am+1对全部的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. [解析] (1)任取x1,x2∈[-1,1]且x1<x2, 则-x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =·(x1-x2), 由已知得>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增, ∴解得-≤x<-1. (3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增, ∴在[-1,1]上,f(x)≤1. 问题转化为m2-2am+1≥1, 即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]恒成立. 下面来求m的取值范围. 设g(a)=-2m·a+m2≥0. ①若m=0,则g(a)=0≥0,对a∈[-1,1]恒成立. ②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0,对a∈[-1,1]恒成立,必需g(-1)≥0,且g(1)≥0, ∴m≤-2或m≥2. ∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.- 配套讲稿:
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