高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章-拓展资料：例析反正法的应用.docx

例析反正法的应用
我们知道，反证法是先否定结论成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或已知条件等相冲突或自相冲突的结论，从而确定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，也是数学上非构造性证明中极为重要的方法，它对于处理存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。现以例说明。
一 否定型命题
当结论为“否定性”的命题时，应用反证法。也就是说原题的结论毁灭“不行能……”、“不能表示为……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有某种性质”等否定形式毁灭时，可考虑使用反证法进行证明。
例1：试证不是有理数。
分析：要求证的结论是以否定的形式毁灭的，因此可应用反正法来进行证明。
证明：假设是有理数，留意到，
可设（、为互质的正整数，且），
两边平方，得①，
表明，是2的倍数，
由于是正整数，故当是奇数时，令（），则，
即是奇数，与是2的倍数冲突。
当是偶数，又可设（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍数。这样与都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定、为互质的正整数相冲突。
因此不是有理数。
点评：在应用反证法证题时，必需按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出冲突，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相冲突
二 存在性命题
当命题的结论是以存在性的形式毁灭时，宜用反证法。也就是说，解决存在性探究命题的总体策略是先假设结论存在，并以此进行推理，若推出冲突，即可否定假设；若推出合理结果，阅历证成马上可确定假设正确。
例2、直线与双曲线：的右支交于不同的两点，⑴求实数的范围；⑵是否存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点？若存在求出的值；若不存在，说明理由。
分析：第（1）提示求参数范围的常规题，第⑵问是一道探讨结论是否存在的开放性命题，为此先假设结论存在并在此假设的条件下进行一系列的推导，或推出冲突或验证成立。
解：⑴略可求得。
⑵由消去得，①
设两点的坐标为，则时方程①的两解
所以，
假设存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点，
则，得，
即
整理得，
将及带入上式，得 ，
解得或 （舍去）
从而存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点。
点评：在本题在假设的条件下推导出的结果并没有毁灭冲突，而是验证了存在符合题设条件的实数，从推断结论存在，对于探究具有某种性质的存在性问题，一般先由特例探求结果的存在性，然后进行论证。
三 “至少”、“至多” 型命题
当命题的结论是以“至多”、“至少”的形式毁灭时，可考虑应用反证法来解决。
例3、设均为实数，且，，
求证：中至少有一个大于0。
分析：假如直接从条件动身推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少”形式毁灭，因而可用反证法证明。
证明：设中都不大于0，即
而

，这与冲突，
故中至少有一个大于0
点评：当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时，一般是多用反证法；应留意
“至少有一个” “都是”的否定形式分别是“一个也没有” “不都是”，本题是一个自相冲突的题目类型。
四 “唯一”性命题，
若命题的结论是以“唯一”、“ 有且只有一个”等形式毁灭时，可用反证法进行证明。
例4、求证：两条相交直线有且只有一个交点。
分析：此题是含有“ 有且只有一个”的命题，可考虑用反证法进行证明。
证明：假设结论不成立，则有两种状况：或者没有交点，或者不只一个交点。
假如直线没有交点，那么∥，这与已知冲突；
假如直线不只有一个交点，则至少交于点，这样经过两点就有两条直线，这与两点确定以直线冲突。
由（1）和（2）可知，假设错误，
所以，两条相交直线有且只有一个交点。
点评：此题是证明一个命题的充要条件，用反证法证明白它的否定，从而获得结论正确，也可正面证明，需证明存在性和唯一性。在证明唯一性命题时，应找出除这一个元素外的其它的全部元素，并逐一推导出冲突，排解掉。
五 确定型命题
有些命题结论是以“都有”“全部” “都是”等形式毁灭时，我们在进行证明时，也往往接受反证法。
例5、设函数对定义域上任意实数都有，且成立。
求证：对定义域内的任意都有。
分析：这是一个确定型命题，可考虑用反正发来进行证明。
证明：假设满足体设条件的任意都有部成立，即存在某个有，
， ，
又由于，这与假设冲突。
假设不成立，故对定义域内的任意都有。
点评：在反设命题的结论时要留意正确写出结论的否定形式是格外重要的。在本体中对“任意都有”的否定是“存在某个有”
六 证明不等式
对于证明不等式，有时直接进行证明因较抽象、不明朗，一时还难以找出解题思路，其反面常却毁灭的条件较多、较具体，又较简洁查找解题思路，因此也常考虑用反证法进行证明。
例6、已知函数是上的增函数，，试推断命题“若，则”的逆命题是否正确，并证明你的结论。
分析：先写出逆命题，然后证明不等式，而直接证明的条件较少，因此应用反证法。
证明：逆命题为：“若，则。”用反证法进行证明：
假设，则
由于函数是上的增函数，
所以有，
两式相加得，
这与已知冲突，
故只有，逆命题成立。
点评：反正法常用于直接证明较困难的不等式，也是不等式证明的一种常用方法。
以上我们介绍了反证法的经常应用的几种类型，由此可以看出它有相当广泛的应用，正难则反是反证法的特点，由于假如由一个命题直接得到的结论很少、较抽象、较困难时，其反面常会有较多、较具体、较简洁的信息结论，这样反证法就为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题,供应了一条解题途径，它是通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提,从而使那种只依靠所给前提而变得山穷水尽的局面,有了柳岸花明又一村的境地。当然要想再接题中用好反证法，这还要有待于平常训练和不断的积累。