2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练12.docx
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双基限时练(十二) 一、选择题 1.下列说法中错误的是( ) A.假如α⊥β,那么α内的全部直线都垂直β B.假如一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面内的全部直线 C.假如一个平面通过另一个平面的垂线,那么两个平面相互垂直 D.假如α不垂直于β,那么α内肯定不存在垂直于β的直线 解析 依据两平面垂直的性质定理,可知A不对,故选A. 答案 A 2.若l,m,n是互不相同的空间直线,α,β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ) A.若α∥β,lα,nβ,则l∥n B.若α⊥β,lα,则l⊥β C.若l⊥n,m⊥n,则l∥m D.若l⊥α,l∥β,则α⊥β 解析 由l⊥α,l∥β,知在β内肯定能找到一条直线l′使得l′∥l,又l⊥α,∴l′⊥α,故α⊥β,故D正确. 答案 D 3. 在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列推断正确的是( ) A.平面ABD⊥平面BDC B.平面ABC⊥平面ABD C.平面ABC⊥平面ADC D.平面ABC⊥平面BED 解析 ∵AB=BC,E为AC的中点,∴AC⊥BE,同理AC⊥ED,又BE∩ED=E,∴AC⊥面BED,又AC面ABC, ∴面ABC⊥面BED. 答案 D 4.在正三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,有下列三个论断:①面APC⊥面PBD;②AC∥面PDE;③AB⊥面PDC,其中正确论断的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①不正确,②③正确. 答案 C 5.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,∠BAC=90°,则二面角B—PA—C的平面角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析 ∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC. ∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角,又∠BAC=90°,故答案为A. 答案 A 6.在△ABC所在平面α外一点P满足PA=PB=PC,则点P在α内的射影是△ABC的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析 设O为点P在平面α内的射影,∴PO⊥AO,PO⊥OC,PO⊥OB.又PA=PB=PC,∴OB=OC=OA,∴O为△ABC的外心. 答案 C 二、填空题 7.如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥面ABCD,则平面PBD与面PAC的关系是________. 解析 ∵PA⊥面ABCD,BD面ABCD, ∴BD⊥AP. 又ABCD为正方形, ∴BD⊥AC,又AC∩AP=A, ∴BD⊥面PAC,而BD面PBD, ∴面PBD⊥面PAC. 答案 面PBD⊥面PAC 8.设直线l和平面α,β且lα,lβ,给出下列三个论断:①l⊥α;②α⊥β;③l∥β,从中任取两个作为条件,其余一个作为结论,在构成的各命题中,写出你认为正确的一个命题________. 答案 ①③⇒② 9.AB是圆O的直径,C是圆上异于A,B的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中共有________个直角三角形. 解析 ∵PA⊥面ABC, ∴△PAB,△PAC均为直角三角形,又AB为直径, ∴AC⊥BC,∴△ABC为直角三角形,且BC⊥面PAC, ∴△PBC为直角三角形. 答案 4 三、解答题 10.如图四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥面ABCD,E在棱PB上,求证:面AEC⊥面PBD. 证明 ∵PD⊥面ABCD,AC面ABCD,∴AC⊥PD. 又ABCD为正方形,∴AC⊥BD. 又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD. 又AC面AEC,∴面AEC⊥面PBD. 11.如图,DA⊥面ABC,∠ABC=90°,AE⊥DB,点F在DC上,求证:平面DBC⊥平面AEF. 证明 ∵DA⊥平面ABC,BC平面ABC, ∴DA⊥BC. ∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC. ∵DA∩AB=A,∴BC⊥平面DAB. ∵AE平面DAB,∴BC⊥AE. 又∵AE⊥DB,DB∩BC=B, ∴AE⊥平面DBC. 又∵AE平面AEF, ∴平面DBC⊥平面AEF. 12.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC,D是AC的中点. (1)求证:B1C∥面A1BD; (2)求证:面A1BD⊥面ACC1A1. 证明 (1)设AB1与A1B相交于点E,连接DE,则E为AB1的中点. 在△AB1C中,D为AC的中点,E为AB1的中点, ∴DE∥B1C. 又∵DE平面A1BD,B1C平面A1BD, ∴B1C∥面A1BD. (2)在△ABC中,AB=BC,D是AC的中点, ∴BD⊥AC. ∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD. 又∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1. 又BD平面A1BD,∴面A1BD⊥面ACC1A1. 思 维 探 究 13.如图所示,已知在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1). 求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC. 证明 ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC. 又∵==λ(0<λ<1),∴不论λ为何值,恒有EF∥CD, ∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.- 配套讲稿:
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