2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第二章-第三节函数的奇偶性与周期性.docx

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课时提升作业(六)
一、选择题
1.函数y=log2的图象　(　　)
(A)关于原点对称 (B)关于直线y=-x对称
(C)关于y轴对称 (D)关于直线y=x对称
2.(2021·江门模拟)已知函数f(x)=lg|x|,x∈R且x≠0,则f(x)是　(　　)
(A)奇函数且在(0,+∞)上单调递增
(B)偶函数且在(0,+∞)上单调递增
(C)奇函数且在(0,+∞)上单调递减
(D)偶函数且在(0,+∞)上单调递减
3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是　
(　　)
(A)f(x)+|g(x)|是偶函数
(B)f(x)-|g(x)|是奇函数
(C)|f(x)|+g(x)是偶函数
(D)|f(x)|-g(x)是奇函数
4.(2021·韶关模拟)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(-a)=2,则f(a)的值为　
(　　)
(A)3 (B)0 (C)-1 (D)-2
5.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=　
(　　)
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
6.对于函数f(x)=acosx+bx2+c,其中a,b,c∈R,适当地选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果只可能是　(　　)
(A)4和6 (B)3和-3
(C)2和4 (D)1和1
7.若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,则不等式f(-1)<f(lgx)的解集是　
(　　)
(A)(0,10) (B)(,10)
(C)(,+∞) (D)(0,)∪(10,+∞)
8.(2021·梅州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则　(　　)
(A)f(-25)<f(11)<f(80)
(B)f(80)<f(11)<f(-25)
(C)f(11)<f(80)<f(-25)
(D)f(-25)<f(80)<f(11)
9.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,已知x∈(0,1)时,f(x)=lo(1-x),则函数f(x)在(1,2)上　(　　)
(A)是增函数,且f(x)<0
(B)是增函数,且f(x)>0
(C)是减函数,且f(x)<0
(D)是减函数,且f(x)>0
10.(力气挑战题)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(x)=f()的全部x之和为　(　　)
(A)-3 (B)3 (C)-8 (D)8
二、填空题
11.(2021·开封模拟)函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
12.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f(f(5))=　　　　.
13.(2022·上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=　　　　.
14.(力气挑战题)函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:
①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称;
②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;
④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是　　　　.
三、解答题
15.(2021·汕头模拟)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范围.
16.(力气挑战题)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值.
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积.

答案解析
1.【解析】选A.由>0得-1<x<1,即函数定义域为(-1,1),又f(-x)=log2=
-log2=-f(x),
∴函数y=log2为奇函数,故选A.
2.【解析】选B.f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),故函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=lgx,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故选B.
3.【解析】选A.∵g(x)是R上的奇函数,∴|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数,故选A.
4.【解析】选B.由f(-a)=-a3-sina+1=2得a3+sina=-1,
所以f(a)=a3+sina+1=-1+1=0.
5.【解析】选A.由于f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.
6.【解析】选D.∵f(-x)=acos(-x)+b(-x)2+c=acosx+bx2+c=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,故选D.
7.【解析】选D.由于f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).
由于f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由f(-1)<f(lgx),
故|lgx|>1,即lgx>1或lgx<-1,
解得x>10或0<x<.
8.【解析】选D.由f(x-4)=-f(x)知函数y=f(x)的周期T=8.故f(-25)=f(-25+3×8)=f(-1)=-f(1),f(11)=f(3+8)=f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=f(1),f(80)=f(0+10×8)=f(0),由于f(x)在[0,2]上是增函数,故f(0)<f(1),又f(x)是奇函数,故f(0)=0,因此f(1)>0.所以-f(1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).
9.【思路点拨】依据f(x)是周期为2的偶函数,把x∈(1,2)转化到2-x∈(0,1)上,再利用f(2-x)=f(x)求解.
【解析】选D.由题意得当x∈(1,2)时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=
lo[1-(2-x)]=lo(x-1)>lo1=0,则可知当x∈(1,2)时,f(x)是减函数,选D.
10.【解析】选C.由于f(x)是连续的偶函数,且x>0时是单调函数,由偶函数的性质可知若f(x)=f(),只有两种状况:①x=;②x+=0,
由①知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3,
由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为x3+x4=-5.
因此满足条件的全部x之和为-8.
11.【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,
∴a=-1.
答案:-1
12.【解析】∵f(x+2)=,
∴f(x+4)==f(x),
∴f(5)=f(1)=-5,
∴f(f(5))=f(-5)=f(3)==-.
答案:-
13.【思路点拨】先利用奇函数条件求出f(x)与f(-x)的关系,从而f(1)与f(-1)的关系可求,即f(-1)可求,再求g(-1).
【解析】∵y=f(x)+x2是奇函数,
∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],
∴f(x)+f(-x)+2x2=0,∴f(1)+f(-1)+2=0,
∵f(1)=1,∴f(-1)=-3.
∵g(x)=f(x)+2,
∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.
答案:-1
14.【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错;
对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;
对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确.
对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.
答案:②③④
【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的缘由是混淆了两个函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图象的对称关系.
【变式备选】设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),下面关于f(x)的判定:其中正确命题的序号为　　　　.
①f(4)=0;
②f(x)是以4为周期的函数;
③f(x)的图象关于x=1对称;
④f(x)的图象关于x=2对称.
【解析】∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4),
即f(x)的周期为4,②正确.
∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数),即①正确.
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),
∴f(x)的图象关于x=1对称,∴③正确.
又∵f(1)=-f(3),当f(1)≠0时,明显f(x)的图象不关于x=2对称,∴④错误.
答案:①②③
15.【解析】(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,b=1.
又f(-x)=-f(x),得a=1.经检验a=1,b=1符合题意.
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)
=-
=
=,
∵x1<x2,∴-<0,又∵(+1)(+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)为R上的减函数.
(3)∵t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
∴f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
∵f(x)为减函数,∴t2-2t>k-2t2,
即k<3t2-2t恒成立,
而3t2-2t=3(t-)2-≥-.
∴k<-.
16.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,从而得
f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得
f((x-1)+2)=
-f(x-1)=
f(-(x-1)),
即f(1+x)
=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×(×2×1)=4.

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